WEBVTT - generated by VCS 1 00:00:03.370 --> 00:00:07.810 Einen wunderschönen Guten Tag meine Damen  und Herren, ich begrüße Sie ganz herzlich   2 00:00:07.810 --> 00:00:12.160 zu einem weiteren Beitrag in der Reihe  "Theoretische Elektrotechnik". Mein Name   3 00:00:12.160 --> 00:00:16.120 ist Hans Georg Krauthäuser, ich bin Inhaber  der Professur für "Theoretische Elektrotechnik   4 00:00:16.120 --> 00:00:25.930 und elektromagnetische Verträglichkeit" an der  TU Dresden. Es wird heute gehen um das dritte   5 00:00:25.930 --> 00:00:35.050 Kapitel im Rahmen der Elektrostatik und zwar  konkret um Randwertprobleme der Elektrostatik.   6 00:00:35.050 --> 00:00:45.910 Wir hatten bisher als Grundproblem der  Elektrostatik die Poisson-Gleichung betrachtet,   7 00:00:45.910 --> 00:00:52.870 was vollkommen richtig ist, wenn man keine  Randbedingungen auf Grenzflächen im Endlichen hat,   8 00:00:52.870 --> 00:00:57.580 sprich, wenn man außer der Ladungsverteilung  ansonsten freien Raum hat und nichts weiter   9 00:00:57.580 --> 00:01:06.000 und man davon ausgehen kann, dass das Potential  im Unendlichen einfach auf Null abfällt. In dem   10 00:01:06.000 --> 00:01:11.000 Fall haben wird das Coulomb-Integral -  teilweise wird es auch Poisson-Integral   11 00:01:11.000 --> 00:01:20.000 genannt - in dieser Form hingeschrieben, als  formale Lösung des Problems. Wohlgemerkt,   12 00:01:20.000 --> 00:01:30.000 dass das Integral nicht immer analytisch lösbar  ist. Wir haben auch für einzelne Fälle angeschaut,   13 00:01:30.000 --> 00:01:39.000 wie wir dann zu einer analytischen Lösung kommen  können. Diese Bedingung, dass man keinerlei   14 00:01:39.000 --> 00:01:48.000 Oberflächen hat im Lösungsvolumen, ist stark  idealisiert und im Allgemeinen wird es so sein,   15 00:01:48.000 --> 00:01:56.000 dass man sehr wohl Ränder des Volumens mit  betrachtet und auf diesen Rändern auch bestimmte   16 00:01:56.000 --> 00:02:05.000 Vorgaben für die Potentialfunktion gegeben  sind. Wenn man das macht kommt man tatsächlich   17 00:02:05.000 --> 00:02:15.000 auf das Randwertproblem, genauer gesagt das  Randwertproblem im Rahmen der Elektrostatik. Das   18 00:02:15.000 --> 00:02:23.000 ist formal zunächst so formuliert, dass man sagt:  gegeben haben wir die Ladungsdichteverteilung in   19 00:02:23.000 --> 00:02:34.000 einem Volumen V und außerdem haben wir auf dem  Rand von V gegeben das Potential selber und   20 00:02:34.000 --> 00:02:39.000 oder die Normalenableitung des Potentials.  Zur Erinnerung: die Normalenableitung des   21 00:02:39.000 --> 00:02:46.000 Potentials ist definiert als Gradient des  Potentials und davon die Normalkomponente.   22 00:02:46.000 --> 00:02:54.000 Wobei Normalkomponente bezüglich der Oberfläche  gemeint ist, die man hier betrachtet d.h. das n   23 00:02:54.000 --> 00:03:02.000 ist der ortsabhängige Normalenvektor auf der  Randfläche, die hier gerade betrachtet wird.   24 00:03:03.000 --> 00:03:07.000 Und Gradient Phi, das kann man physikalisch  auch wieder mit dem E-Feld identifizieren,   25 00:03:10.000 --> 00:03:13.000 es gilt E gleich minus Gradient Phi. Somit ist  die Normalkomponente von Gradient Phi gerade   26 00:03:13.000 --> 00:03:21.000 auch die negative Normalkomponente des E-Feldes.  Also: wir haben ein Gebiet, in dem Gebiet haben   27 00:03:21.000 --> 00:03:29.000 wir Raumladungen gegeben. Außerdem haben wir auf  dem Rand des Gebietes entweder das Potential oder   28 00:03:29.000 --> 00:03:36.000 die Normalenableitungen des Potentials gegeben.  Das Problem besteht dann darin, dass Potential   29 00:03:36.000 --> 00:03:47.000 zu berechnen, für alle Punkte im Volumen. Man  fragt sich, warum es gerade so formuliert ist,   30 00:03:47.000 --> 00:03:53.000 wie es hier formuliert ist. Die Beantwortung  dieser Frage, warum hatten wir gerade diese   31 00:03:53.000 --> 00:03:59.000 beiden Randbedingungen, also dass entweder Phi  oder die Normalenableitung von Phi gegeben ist,   32 00:03:59.000 --> 00:04:06.000 das führt uns tatsächlich in einen kleinen  Exkurs in die Mathematik, um das zu verstehen.   33 00:04:06.000 --> 00:04:14.000 Und zwar werden wir uns als Erstes nochmal in die  Erinnerung rufen, dass wir aus der Mathematik die   34 00:04:14.000 --> 00:04:24.000 sogenannten "Greenschen Identitäten" kennen. Wenn  wir also beliebige skalare Felder f und g haben,   35 00:04:24.000 --> 00:04:32.000 die in einem Volumen definiert sind und für  die ich auch eine Oberfläche des Volumens habe,   36 00:04:32.000 --> 00:04:43.000 dann gelten diese beiden sogenannten Greenschen  Identitäten. Wir werden als nächstes die zweite   37 00:04:43.000 --> 00:04:49.000 Greensche Identiät verwenden. Ich habe die  Erste mit hingeschrieben, weil die dann später   38 00:04:49.000 --> 00:04:57.000 im Rahmen der Eindeutigkeitsbetrachtung, die  wir noch machen werden, auch nochmal aufkommt.   39 00:04:57.000 --> 00:05:02.000 Zum anderen brauchen wir in der weiteren  Betrachtung nochmal das, was ich ebenschon   40 00:05:02.000 --> 00:05:09.000 gesagt habe: Was ist die Normalenableitung? Die  Normalenableitung von f wäre Gradient f und davon   41 00:05:09.000 --> 00:05:23.000 die Normalkomponente. Außerdem brauchen wir eine  weitere Identität, die haben wir uns übrigens in   42 00:05:23.000 --> 00:05:29.000 einer der früheren Beiträge schonmal genauer  angeschaut. Wir brauchen noch eine Beziehung   43 00:05:29.000 --> 00:05:35.000 für die Delta-Funktion, die eigentlich eine  Distribution ist. Und zwar gilt die Beziehung,   44 00:05:35.000 --> 00:05:45.000 dass Delta r minus r' auch geschrieben werden  kann als minus 1 durch 4 Pi Laplace von 1 durch   45 00:05:45.000 --> 00:05:53.000 r minus r' Betrag. Kleiner Hinweis hier, weil auch  das später, nämlich bei den Greenschen Funktionen   46 00:05:53.000 --> 00:06:02.000 nochmal verwendet werden wird, nicht in diesem  Video, aber in einem späteren Video: Delta von   47 00:06:02.000 --> 00:06:09.000 r minus r' ist vollkommen symmetrisch, das gibt  nur einen Beitrag wenn r gleich r' ist d.h. ich   48 00:06:09.000 --> 00:06:16.000 könnte auch die Rollen von r und r' vertauschen.  Hier unten im Betrag ist es genau das Gleiche,   49 00:06:16.000 --> 00:06:21.000 hier ich kann auch r und r' vertauschen ohne, dass  etwas passiert. Von daher muss ich jetzt an den   50 00:06:21.000 --> 00:06:28.000 Laplace-Operator auch nicht dranschreiben,  ob es bezüglich r oder r' genommen wird,   51 00:06:28.000 --> 00:06:35.000 es würde hier in dem Fall keine Rolle spielen. Es  gilt also Beides, das gilt mit Laplace bezüglich   52 00:06:35.000 --> 00:06:43.000 r und auch mit Laplace bezüglich r'. Also, das  verwenden wir und natürlich haben wir auch die   53 00:06:43.000 --> 00:06:52.000 Poisson-Gleichung im Hinterkopf. Wenn wir jetzt  die Poisson-Gleichung in eine Integralgleichung   54 00:06:52.000 --> 00:07:01.000 umwandeln wollen, dann nehmen wir die zweite  Greensche Identität, die ja für beliebige Felder   55 00:07:01.000 --> 00:07:18.000 f und g gilt und wählen als f das Potential und  als g wählen wir 1 durch r minus r' Betrag. Das   56 00:07:18.000 --> 00:07:25.000 setzten wir entsprechend ein, das sieht zunächst  komplizierter aus als man das gerne hätte,   57 00:07:25.000 --> 00:07:34.000 wird aber gleich in sich zusammenfallen. Das ist  zunächst einfach der Term hier oben, die linke   58 00:07:34.000 --> 00:07:43.000 Seite nochmal hingeschrieben mit f gleich Phi und  g gleich 1 durch r minus r' Betrag. Wenn wir uns   59 00:07:43.000 --> 00:07:53.000 die Terme genauer anschauen, dann sehen wir, dass  wir hier Laplace 1 durch r minus r' haben. Laplace   60 00:07:56.000 --> 00:08:04.000 von 1 durch r minus r' können wir offensichtlich  ersetzen durch minus 4Pi mal die Delta-Funktion.   61 00:08:04.000 --> 00:08:12.000 Das ist hier vorne auch schonmal hingeschrieben:  minus 4Pi. Und dann kommt das Phi von r' und dann   62 00:08:12.000 --> 00:08:25.000 kommt die Delta-Funktion. Das wäre also dieser  Beitrag hier. Dieser Ausdruck ist ein Ausdruck   63 00:08:25.000 --> 00:08:30.000 der einen schon sehr, sehr optimistisch stimmt,  dass es hier weitergeht, weil ganz offensichtlich   64 00:08:30.000 --> 00:08:38.000 kann dieses Integral ausgewertet werden. Phi  von r' mal Delta von r minus r' ist, so sind die   65 00:08:38.000 --> 00:08:47.000 Eigenschaften der Delta-Funktion, nichts anderes  als Phi von r selber. Dieses vordere Integral,   66 00:08:47.000 --> 00:08:55.000 zusammen mit dem minus4Pi, wird einfach minus  4Pi mal Phi von r ergeben. Und Phi von r will   67 00:08:55.000 --> 00:09:01.000 ich letztendlich ausrechnen, d.h. das ist sehr  gut, dass es hier in der Form auftaucht. Wenden   68 00:09:01.000 --> 00:09:08.000 wir uns dem zweiten Term zu, also Integral  über diesem Ausdruck hier. Hier steht Laplace   69 00:09:08.000 --> 00:09:22.000 von Phi. Laplace von Phi ist aber gerade, nach  der Poisson-Gleichung, minus 1 durch Epsilon_0 mal   70 00:09:22.000 --> 00:09:28.000 Rho. Genau da ist hier hingeschrieben, das Minus  kompensiert sich mit diesem Minus hier und wird   71 00:09:28.000 --> 00:09:35.000 ein Plus. 1 durch Epsilon_0 kann vor das Integral  gezogen werden und dann kommt das Volumenintegral,   72 00:09:36.000 --> 00:09:47.000 und dann einfach Rho von r' dividiert durch r  minus r'. Das ist dieser Anteil. Den kennen wir   73 00:09:47.000 --> 00:09:52.000 schon aus dem Coulomb-Integral. Das ist nicht  verwunderlich, dass der hier zusammen mit einem   74 00:09:52.000 --> 00:10:00.000 Term, wo im Wesentlichen Phi von r drinsteht,  dieser Term wieder auftaucht. Wir haben aber noch   75 00:10:00.000 --> 00:10:10.000 die rechte Seite der Gleichung jetzt auszuwerten.  Und die rechte Seite der Gleichung schreiben wir   76 00:10:10.000 --> 00:10:17.000 zunächst Mal hin, mit den Ersetzungen die wir  für f und g gemacht haben. Und das gibt diesen   77 00:10:17.000 --> 00:10:25.000 Ausdruck wie er hier steht. Und jetzt brauchen  wir das Ganze nur noch umzusortieren. Ich hatte   78 00:10:25.000 --> 00:10:33.000 ja schon gesagt, dass hier minus 4Pi mal Phi, d.h.  ich kann das ganze nach Phi auflösen indem ich   79 00:10:33.000 --> 00:10:41.000 diesen Term mit auf die andere Seite bringe und  dann durch minus 4Pi dividiere. Und wenn ich das   80 00:10:41.000 --> 00:10:49.000 mache, dann bekommen wir diesen Ausdruck für Phi  von r. Phi von r ist gleich 1 durch 4Pi Epsilon_0.   81 00:10:49.000 --> 00:10:58.000 Wenn ich diesen Term auf die andere Seite bringe  steht hier erstmal ein negatives Vorzeichen,   82 00:10:58.000 --> 00:11:04.000 aber wenn ich durch minus 4Pi dividiere, dann  ergibt es insgesamt einen positives Ausdruck. Das   83 00:11:04.000 --> 00:11:12.000 wäre alleine genommen das Coulomb-Integral. Das  kennen wir schon. Auf der rechten Seite steht ein   84 00:11:12.000 --> 00:11:22.000 weiterer Ausdruck, hier mussten wir auch durch  minus 4Pi dividieren. Das Minus erledigen wir   85 00:11:22.000 --> 00:11:29.000 dadurch, dass wir unter dem Integral die beiden  Terme vertauschen, und das 1 durch 4Pi einfach   86 00:11:29.000 --> 00:11:37.000 davor stehen bleibt. Und ansonsten ist das einfach  hingeschrieben. An der Stelle ahnt man schon wo   87 00:11:37.000 --> 00:11:44.000 das herkommt mit den Randbedingungen, weil hier  vorne, in dem ersten Summanden im Integral,   88 00:11:44.000 --> 00:11:52.000 da steht gerade d Phi nach d n', also die  Normalenableitung von Phi. Und im zweiten   89 00:11:52.000 --> 00:12:01.000 Summenden steht gerade Phi selber. Um das also  auswerten zu können ist es naheliegend zu sagen,   90 00:12:01.000 --> 00:12:06.000 wir müssen in dieser Form entweder die  Normalenableitung oder Phi selber als   91 00:12:06.000 --> 00:12:14.000 Randbedingung vorgegeben haben. Ansonsten fehlt  uns Information um dieses Oberflächenintegral   92 00:12:14.000 --> 00:12:27.000 auszuwerten. Diskutieren wir diese Gleichung etwas  detaillierter. Dafür schreiben wir sie erstmal   93 00:12:27.000 --> 00:12:34.000 nochmal hin. Das ist nichts anderes als das was  wir am Ende der vorherigen Folie hingeschrieben   94 00:12:34.000 --> 00:12:44.000 hatten. Dann können wir durchgehen, was  wir jetzt feststellen können. Klar ist,   95 00:12:44.000 --> 00:12:59.000 nur Ladungen im Volumen, beziehungsweise die Werte  für Phi und d Phi nach d n' auf der Oberfläche des   96 00:12:59.000 --> 00:13:12.000 Volumens bestimmen das Skalarpotential. Wobei hier  nochmal erwähnt sei, die Normalenableitung des   97 00:13:12.000 --> 00:13:19.000 Potentials ist gerade Gradient Phi mal n. N ist  der Normalenvektor an dem Punkt der Oberfläche.   98 00:13:19.000 --> 00:13:29.000 Und wegen E gleich minus Gradient Phi ist die  Angabe der Normalenableitung von Phi letztendlich   99 00:13:29.000 --> 00:13:38.000 die Angabe der Normalkomponente des E-Feldes an  dem Punkt. Also entweder Phi oder Normalkomponente   100 00:13:38.000 --> 00:13:45.000 von E sind gegeben und die bestimmen dann  gemeinsam mit den Ladungen im Volumen das   101 00:13:45.000 --> 00:13:54.000 Potential im gesamten Raum. Ladungen außerhalb  dieses Volumens, das ich mir selber definiere,   102 00:13:55.000 --> 00:14:03.000 tragen nicht zum Potential bei. Beziehungsweise,  genauer gesagt, sie tragen nur indirekt zum   103 00:14:03.000 --> 00:14:09.000 Potential bei. Was Ladungen außerhalb des  Volumens machen können, in der Regel auch machen,   104 00:14:09.000 --> 00:14:17.000 ist, dass sie die Werte des Potentials bzw. des  E-Feldes auf diesen Randflächen mit beeinflussen.   105 00:14:17.000 --> 00:14:25.000 Also indirekt wirken Ladungen auch außerhalb  des Volumens, aber eben nicht direkt wie diese   106 00:14:25.000 --> 00:14:31.000 Ladungen innerhalb des Volumens. Spezialfall,  wenn ich keine Ladungen im Volumens habe,   107 00:14:31.000 --> 00:14:38.000 dann ist das Skalarpotential vollständig durch die  Randwerte vorgegeben, weil dann dieser erste Term   108 00:14:38.000 --> 00:14:48.000 verschwindet. Zweiter Spezialfall, umgekehrt, wenn  ich die Ränder im Unendlichen liegen habe- also   109 00:14:48.000 --> 00:14:56.000 gar keine Ränder habe, das Volumen ist der gesamte  Raum- dann kann ich mir diese Terme anschauen und   110 00:14:56.000 --> 00:15:02.000 ich weiß, dass Phi proportional 1 durch r ist.  1 durch r ist sowieso proportional 1 durch r,   111 00:15:02.000 --> 00:15:07.000 dann ist die Normalenableitung proportional  zu 1 durch r^2. Das heißt, ein so ein Summand   112 00:15:07.000 --> 00:15:15.000 ist proportional zu 1 durch r^3. Das gilt für  den anderen Summanden natürlich genau so. Das   113 00:15:15.000 --> 00:15:23.000 heißt ich habe unter dem Integral etwas stehen  was mit 1 durch r^3 bzw. 1 durch r'^3 abfällt.   114 00:15:23.000 --> 00:15:34.000 Die Oberfläche wächst aber nur mit r'^2. Somit ist  klar, dass dieses gesamte Integral für Oberflächen   115 00:15:34.000 --> 00:15:45.000 im Unendlichen verschwindet. Das heißt, wenn wir  keine Randbedingungen im Endlichen haben- das ist   116 00:15:45.000 --> 00:15:50.000 genau die Aussage die wir vorher schonmal gemacht  haben- dann ist das Potential nur durch diesen   117 00:15:50.000 --> 00:15:57.000 ersten Term, also durch unser Coulomb-Integral  bzw. Poisson-Integral vollständig bestimmt.   118 00:15:58.000 --> 00:16:06.000 Wir werden jetzt als nächstes zeigen, dass wir  so in der Form, wie es hier aufgeschrieben ist,   119 00:16:07.000 --> 00:16:12.000 immer noch nicht die Lösung haben. Das liegt  daran, dass wir das System, wie wir es hier   120 00:16:12.000 --> 00:16:17.000 hingeschrieben haben noch überbestimmt  haben. Also hier wäre ja noch zulässig,   121 00:16:17.000 --> 00:16:24.000 dass wir an einem Punkt der Oberfläche sowohl die  Normalenableitung als auch das Potential vorgeben,   122 00:16:24.000 --> 00:16:31.000 physikalisch ist das in der Regel aber dann  nicht zu erfüllen. Das heißt, das ist zwar   123 00:16:31.000 --> 00:16:37.000 mathematisch sehr schön und sehr richtig, aber es  ist physikalisch überbestimmt . Das werden wir uns   124 00:16:37.000 --> 00:16:47.000 jetzt anschauen indem wir die physikalische Lösung  anschauen und feststellen, dass diese für das   125 00:16:47.000 --> 00:16:58.000 Potential oder spätestens für das E-Feld bereits  eindeutig bestimmt ist. Wenn wir entweder überall   126 00:16:58.000 --> 00:17:04.020 auf der Oberfläche das Potential gegeben haben,  dann sprechen von sogenannten Dirichlet'schen   127 00:17:04.020 --> 00:17:14.020 Randbedingungen. Oder, wenn wir überall auf der  Oberfläche die Normalenableitung des Potentials   128 00:17:14.020 --> 00:17:19.020 gegeben haben, sprich die Normalkomponente  des E-Feldes, in dem Fall sprechen wir von   129 00:17:19.020 --> 00:17:26.020 Neumann'schen Randbedingungen. Oder, es geht  auch, dass wir einen gemischten Fall haben d.h.,   130 00:17:26.020 --> 00:17:32.020 dass wir auf einem Teil des Randes Dirichlet'schen  Randbedingungen vorgegeben haben und auf einem   131 00:17:32.020 --> 00:17:39.020 anderen, also wirklich anderen, disjunkten Teil,  Neumann'sche Randbedingungen vorgegeben haben. In   132 00:17:39.020 --> 00:17:47.020 dem Fall sprechen wir von sogenannten gemischten  Randbedingungen. Jetzt aber zur Eindeutigkeit.   133 00:17:47.020 --> 00:17:56.020 Um die Eindeutigkeit zu zeigen,  nehmen wir mal an wir hätten zwei Lösungen der   134 00:17:56.020 --> 00:18:04.080 Poisson-Gleichung. Das heißt sowohl für Phi1,  als auch für Phi2 gilt Laplace von Phi ist   135 00:18:04.080 --> 00:18:13.080 gleich minus 1 durch Epsilon RhoV von r. Und zwar  dann eben auch mit gleichen Werten oder gleichen   136 00:18:13.080 --> 00:18:23.080 Normalenableitugen auf Oberfläche von V. Das hießt  sowohl Phi_1 als auch Phi_2 sollen Lösungen des   137 00:18:23.080 --> 00:18:31.080 gleichen Randwertproblems sein. Dann können wir  uns natürlich aus Phi_1 und Phi_2 ein weiteres   138 00:18:31.080 --> 00:18:39.080 Feld basteln- nennen wir das Mal Psi_- in der Form  Phi_1 minus Phi_2. Wenn Phi_1 und Phi_2 Lösungen   139 00:18:39.080 --> 00:18:47.080 der Poisson-Gleichung sind, dann ist die Differenz  eine Lösung der Laplace-Gleichung. Und wenn für   140 00:18:47.080 --> 00:18:55.080 Phi_1 und Phi_2 beispielsweise Werte von Phi auf  der Oberfläche gegeben sind, dann wird dieser   141 00:18:55.080 --> 00:19:01.040 Wert, wenn ich die Differenz betrachte, auf der  Oberfläche gleich Null sein. Gleiches gilt für die   142 00:19:01.040 --> 00:19:07.040 Normalenableitung. Wenn die bei Phi_1 und Phi_2  den gleichen Wert auf der Oberfläche hat, dann   143 00:19:07.040 --> 00:19:15.040 wird bei der Differenz diese Normalenableitung auf  der Oberfläche von Phi verschwinden. Jetzt nehmen   144 00:19:15.040 --> 00:19:22.040 wir die erste Green'sche Identität, die wir genau  dafür eben schonmal eingeführt haben. 145 00:19:22.040 --> 00:19:29.040 Wenn wir diese erste Green'sche Identität,  die hier unten nochmal hingeschrieben ist,   146 00:19:29.040 --> 00:19:37.040 die nehmen wir jetzt für den Spezialfall, - das  ist schon für den Spezialfall hingeschrieben- dass   147 00:19:37.040 --> 00:19:51.040 f gleich g gleich dieses Psi ist . Dann hätten  wir diesen Ausdruck hier. Der sieht zunächst   148 00:19:51.040 --> 00:19:57.040 bisschen komplizierter aus, aber wir können das  wieder analysieren. Wir fangen damit an, dass   149 00:19:57.040 --> 00:20:07.000 wir hier Laplace Psi stehen haben. Laplace Psi  ist aber gleich 0 d.h. dieser Term wird schonmal   150 00:20:07.000 --> 00:20:16.000 wegfallen. Hier steht Gradient Psi zum Quadrat.  Gut, das bleibt stehen. Und auf der anderen Seite,   151 00:20:17.000 --> 00:20:26.000 da steht Psi mal die Normalenableitung von Psi,  aber einer von diesen beiden Faktoren ist auf   152 00:20:26.000 --> 00:20:35.000 jeden Fall Null. Entweder eben Psi selber oder  dem Psi nach d n ist nach den Voraussetzungen die   153 00:20:35.000 --> 00:20:42.000 wir haben gleich Null. Das heißt die rechte Seite  dieser Gleichung wird auf jeden Fall verschwinden   154 00:20:42.000 --> 00:20:49.000 weil der Integrand für alle Punkte der Oberfläche  verschwindet. Somit bleibt als Aussage stehen:   155 00:20:49.000 --> 00:20:58.000 das Volumenintegral über Gradient Psi zum Quadrat  ist gleich Null. Und das soll ja für beliebige   156 00:20:58.000 --> 00:21:07.060 Volumina gelten. Und für beliebige Volumina  kann das nur erfüllt sein, wenn tatsächlich   157 00:21:07.060 --> 00:21:13.060 Gradient Psi verschwindet. Und wenn Gradient  Psi verschwindet d.h. das nichts anderes,   158 00:21:13.060 --> 00:21:24.060 als dass Psi eine Konstante ist d.h. Psi ist  ein konstantes Feld. Jetzt kommen wieder die   159 00:21:24.060 --> 00:21:30.060 Randbedingungen ins Spiel. Nehmen wir mal an wir  haben Dirichlet'sche Randbedingungen. Im Falle von   160 00:21:30.060 --> 00:21:39.060 Dirichlet'sche Randbedingungen ist Psi gleich  Null auf dem Rand. Psi ist aber insgesamt ein   161 00:21:39.060 --> 00:21:45.060 konstantes Feld. Wenn ich von einem konstanten  Feld auf dem Rand weiß, dass es Null ist,   162 00:21:45.060 --> 00:21:52.060 dann muss es überall gleich Null sein. Das heißt  hier folgt sofort dass Psi gleich Null n_V ist,   163 00:21:52.060 --> 00:22:03.020 somit ist dann Phi1 gleich Phi_1, und auch  E_1 gleich E_2. Nächster Fall: Neumann'sche   164 00:22:03.020 --> 00:22:10.020 Randbedingungen. Nehmen wir also an, dass die  Normalenableitung auf dem Rand verschwindet. Das   165 00:22:10.020 --> 00:22:17.020 kann sie nur wenn tatsächlich Psi eine Konstante  - wir hatten da schon festgestellt, dass Psi eine   166 00:22:17.020 --> 00:22:25.020 Konstante im gesamten Raum ist - und wenn Psi  gleich konstant ist, dann ist das automatisch   167 00:22:25.020 --> 00:22:35.020 erfüllt, dass die Normalenableitung verschwindet.  In dem Fall kann ich nicht sofort sagen, dass Phi1   168 00:22:35.020 --> 00:22:40.020 gleich Phi2 ist. Ich müsste sagen, Phi_1 und Phi_2  unterschieden sich nur noch durch eine additive   169 00:22:40.020 --> 00:22:49.020 Konstante. Wenn ich aufs E-Feld übergehe, und das  E-Feld ist letztendlich die physikalisch wichtige   170 00:22:49.020 --> 00:22:56.020 Größe, dann fällt aber bei der Gradientenbildung  e gleich minus Gradient Phi diese Konstante weg   171 00:22:56.020 --> 00:23:06.080 und die E-Felder sind auch hier im Neumann'schen  Fall die Gleichen. Bleibt der Fall: was ist mit   172 00:23:06.080 --> 00:23:11.080 gemischten Randbedingungen? Wenn ich gemischte  Randbedingungen habe, dann habe ich zumindest   173 00:23:11.080 --> 00:23:21.080 einen Punkt, wo ich Dirichlet'sche Randbedingungen  habe. Das heißt an einem Punkt würde Psi gleich   174 00:23:21.080 --> 00:23:26.080 Null gelten, Psi ist aber nach wie vor ein  konstantes Feld. Wenn für ein konstantes   175 00:23:26.080 --> 00:23:32.080 Feld an einem Punkt bekannt ist, dass es den Wert  Null hat, dann hat es natürlich überall den Punkt   176 00:23:32.080 --> 00:23:38.080 Null d.h. bei Gemischten Randbedingungen gilt das,  was wir auch bei Dirichlet'schen Randbedingungen   177 00:23:38.080 --> 00:23:44.080 gesagt haben, weil es ausreichend ist, dass an  einem Punkt die Dirichlet'schen Randbedingungen   178 00:23:44.080 --> 00:23:51.080 erfüllt sein müssen. Und dann hätte ich wieder die  Identität der Potentiale. Sprich, wir sehen hier,   179 00:23:51.080 --> 00:24:06.040 dass durch die Angabe von Psi und d<_Phi nach d_n,  - hier steht Phi nicht Psi, Entschuldigung - an   180 00:24:06.040 --> 00:24:13.040 irgendeinem Punkt an der Oberfläche von V das  Problem bereits physikalisch überbestimmt wäre,   181 00:24:13.040 --> 00:24:20.040 weil es ist schon physikalisch eindeutig  wenn ich eine der beiden Annahmen mache.   182 00:24:20.040 --> 00:24:29.040 Gut und somit ist auch diese Gleichung, die  wir hier schon mehrfach hingeschrieben haben,   183 00:24:30.040 --> 00:24:39.040 noch nicht die Lösung für das Ganze, ist aber ein  ganz wichtiger Schritt zur allgemeinen, formalen   184 00:24:39.040 --> 00:24:49.040 Lösung der Elektrostatik. Es ist zunächst mal nur  zur Poisson-Gleichung äquivalente Formulierung.   185 00:24:51.040 --> 00:25:02.000 Wir werden dann in der nächsten Vorlesung uns  damit beschäftigen wie wir denn jetzt tatsächlich   186 00:25:02.000 --> 00:25:09.000 die formale Lösung gewinnen können. Das wird  gelingen mit dem Formunismus der Greens'   187 00:25:09.000 --> 00:25:25.000 Funktionen. Damit werden wir uns heute nicht  beschäftigen. Das ist Bestandteil des nächsten   188 00:25:25.000 --> 00:25:33.000 Blockes. Es bleit mir an der Stelle nur mich für  ihre Aufmerksamkeit zu bedanken. Ich verweise auf   189 00:25:33.000 --> 00:25:38.000 die Webseite wo sie weitere Informationen  finden. Besten Dank. Bis zum nächsten Mal.