Einen wunderschönen Tag meine Damen und Herren. Ich begrüße sie ganz herzlich zu einem weiteren
Beitrag in der Reihe Theoretische Elektrotechnik. Mein Name ist Hans Georg Krauthäuser. Ich bin
Inhaber der Professur für theoretische Elektrotechnik und elektromagnetische
Verträglichkeit an der TU Dresden. Wir werden uns heute mit der Magnetostatik beschäftigen.
Wir werden einsteigen in das Thema d.h. wir werden uns die Grundlagen anschauen.
Es wird dann ein zweites Video geben, wo wir uns tatsächlich auch die Magenostatik
in Materie ein wenig näher anschauen werden, aber wie gesagt jetzt zunächst mal zu den Grundlagen.
Das heißt wir müssen uns erst mal die Ausgangssituation klar machen.
Die Ausgangssituation ist die, dass wir in der Magnetostatik zeitunabhängige
Felder betrachten werden - aber jetzt eben anders als in der Elektrostatik- natürlich
magnetische Felder d.h. zeitunabhängige, magnetische Felder sind Gegenstand. Und
die werden verursacht durch Gleichströme. Jedenfalls wollen wir es darauf beschränken,
weil - das wissen sie natürlich - in der Regel gibt es einen weiteren Effekt. Es
gibt auch permanent magnetische Stoffe und auch die können natürlich zeitunabhängige,
magnetische Felder erzeugen, aber im Rahmen dessen, was wir hier machen, wollen wir das
zunächst mal nicht betrachten. Der wesentliche Unterschied zur Elektrostatik ist, dass wir in
der Magnetostatik keine magnetischen Monopole haben - zumindest beobachtet man die nicht.
Es gibt Hinweise auf relativ exotische Situationen - Stoffe bspw. die man auch in
der Klasse der Spineis zusammenfasst. Doch gibt es teilweise elektrische Strukturen,
die - wenn man sie als Pseudoteilchen auffasst - so interpretiert werden können,
als wären das magnetische Monopole. Die treten aber immer paarweise auf, sodass makroskopisch
die Aussage steht: Es gibt keine magnetischen Monopole. Der führende Term - wenn wir an die
Multipolentwicklung denken - der führende Term ist hier also nicht dem Monopolterm, sondern der
Dipolterm. Das hat natürlich Auswirkungen. Schauen wir uns vielleicht auch noch mal die Gleichungen
an - so wie wir sie bisher behandelt haben. Hier vorne stehen die Maxwellgleichung, noch einmal
allgemein ergänzt durch die Kontinuitätsgleichung. In der Elektrostatik haben wir das beschränkt auf
die beiden Maxwellgleichungen für die elektrischen Felder, E-Feld und dielektrische Verschiebung.
Beim stationären Strömungsfeld haben wir neben der Gleichrotation E gleich 0 auch Divergenz j
gleich 0 betrachtet. Und Divergenz j gleich 0 folgt natürlich unmittelbar aus Rotation h
gleich j. Wenn sie hier die Differenz auf diese Maxwellgleichung anwenden,
bekommen sie das ja. Deshalb habe ich hier oben - auch wenn wir im stationären Strömungsfeld die
magnetischen Phänomene nicht betrachtet haben - das noch mal in Klammern zumindest hingeschrieben.
Und in der Magentostatik werden wir jetzt uns auf diese beiden eingerahmten Gleichungen,
also Rotation h gleich j und Differenz b gleich 0 als Grundgleichungen beziehen.
Und auch hier folgt natürlich aus Rotation haar gleich j sofort Divergenz j gleich 0,
deshalb dass auch noch mal hin geschrieben der Vollständigkeit halber - auch wenn wir ist
explizit nicht betrachten werden. Gut, diese Grundgleichungen der Magenostatik können wir
natürlich neben der differentiellen Form, die wir gerade hatten, ja natürlich auch in integraler
Form nochmal hinschreiben. Das ist hier einfach nochmal wiederholt. Das kennen sie inzwischen. Und
natürlich müssen wir da im Allgemeinen - das wissen wir aus der axiomatischen Einführung,
das wissen wir aus der Elektrostatik und das wissen Sie wahrscheinlich auch so schon
natürlich - auch Materialgleichungen noch ergänzen. Für die magnetischen Phänomene ist
es so, dass auch hier die magnetische Induktion und das Magnetfeld verknüpft sind auf diese Art
und Weise. Und im Allgemeinen ist das aber ein durchaus komplexer Zusammenhang, den ich hier
mal durch eine Matrix m angedeutet hat, dass in dem Bezug darauf, dass wenn es anisotrop ist,
die Richtung von b und die Richtung von h eben auch nicht übereinstimmen müssen.
Und außerdem kann diese Materialparameter natürlich auch ortsabhängig sein, dann wäre
es eben nicht homogen. Es kann vom Magnetfeld selber abhängen, dann wäre es nicht linear. Es
kann auch noch Zeitabhängigkeiten und weitere Abhängigkeiten geben. Im Allgemeinen werden
wir uns aber wieder auf der einfachsten Fall beschränken, also lineare, homogene,
isotrope Medien. Und dann haben wir eine einfache Beziehung b gleich Mü_0 mal Mü_r mal h bzw. dann
einfach - wenn ich die beiden Mü's nochmal zusammen fasse - b gleich Mü mal h. Und Mü ist
dann ein einfacher Skalar. Dazu aber wie gesagt später mehr. Wir bleiben im Prinzip erstmal im
Vakuum, wobei Vakuum und einfaches Medium ja kein Unterschied ist, weil das einfach nur eine andere
Konstante ist. In der Elektrostatik haben wir sehr schnell dann eben auch ein Potenzial eingeführt
und haben gemerkt, dass das sehr hilfreich ist. Und in der Elektrostatik konnten wir das machen,
weil aus Rotation E gleich 0 klar ist, dass E ein Gradientenfeld ist. Wir
haben dann mit E gleich minus Gradient Phi ein Skalarpotenzial Phi eingeführt. In der
Magneostatik ist jetzt Rotation h eben nicht gleich 0, sondern Rotation h ist gleich j,
sodass das hier kein Gradientenfeld sein wird. Aber wir haben eine andere Beziehung,
die wir ausnutzen können, nämlich Divergenz b ist gleich 0 - b ist also quellenfrei. Und das hilft
uns ein magnetisches Vektorpotenzial einzuführen. Sie erinnern sich bitte, wenn Sie zurückdenken an
den Block über das Vorwissen. Dort haben wir das Helmholtztheorem eingeführt - auch bekannt
als fundamentaler Satz der Vektoranalysis, der aussagt, dass wir jedes beliebige Vektorfeld
aufteilen können, in einen divergenzfreien und in einem rotationsfreien Anteil, und wie dann
auch diese Anteile gebildet werden. Und wir haben jetzt hier eben ein Feld das ist schon
divergenzfrei. Dann können wir das eben auch schreiben als als ein reines Rotationsfeld.
Das heißt wir können ein Feld A einführen, das sogenannte magnetische Vektorpotenzial,
und dann b ausdrücken als Rotation A. Das A hat dann die Einheit Voltsekunde pro Meter
und mit dieser Einführung, die wie gesagt aus dem Helmholtztheorem folgt, dass wir das machen
dürfen, ist dann klar - und das ist ein Vorteil - dass Divergenz b gleich 0 automatisch erfüllt ist,
weil Divergenz von Rotation eines beliebigen Felds ja verschwindet. Das ist der gleiche Vorteil
wie eben beim Skalarpotenzial. Eine der beiden Grundgleichungen ist automatisch erfüllt und dann
brauchen wir uns eben nur noch mit der Anderen zu beschäftigen. Das die Andere dann eben ein
bisschen komplizierter wird, das sehen wir in den nächsten Schritten. Wir gehen erstmal davon aus,
dass wir nur ein lineares und isotropes, aber durchaus noch inhomogenes Medium hätten,
dass also das Mü noch ein Mü von r wäre. Wenn ich dann Roation h bilde, dann ist das ja Rotation 1
durch Mü von r mal b. Und b kann ich jetzt als Rotation A schreiben d.h. das wäre Rotation von
1 durch Mü von r mal Rotation von A. Und das wäre gleich die Stromdichte. Aber man sieht,
hier kommt man jetzt nicht so richtig weiter, weil man könnte das erst weiter auflösen wenn
man eben Aussagen über die Ortsabhängigkeit von Mü hätte. Deshalb geht man hier über zu einem Medium,
das eben zumindestens bereichsweise homogen ist, sodass man diesen Bereich
daneben als homogen Bereich betrachten kann. Dann ist das Mü einfach nur ein Skalar. Und haben
dann könnten wir das hier natürlich rausziehen, dann vor die Rotation ziehen. Und ich kann die
ganze Gleichung der Einfachheit halber dann auch mal mit Mü multiplizieren um die Brüche
loszuwerden und bekomme dann eben einen solchen Ausdruck Mü mal Rotation h. Das ist ja dann
Rotation b, wenn ich b Rotation A einsetze ist das Rotation Rotation A. Und Rotation Rotation,
das kann man eben auch schreiben - das ist eine Vektoridentität - das können
wir schreiben als Gradiv minus Laplace, sodass wir dann insgesamt bekommen Gradient
Divergenz A minus Laplace A gleich Mü mal j. Hier steht jetzt Mü mal j, weil ich ja
mit Mü durchmultipliziert habe. Gut und das ist eigentlich schon eine relativ vielversprechende
Gleichung, weil hier im hinteren Teil, da steht ja das was wir aus der Poissongleichung schon kennen,
jetzt allerdings als vektorielle Gleichung. Sprich, in kartesischen Koordinaten wären das
einfach drei Gleichungen. Aber das hier vorne, das ist natürlich ein Ausdruck der uns noch
ein bisschen stört. Wenn wir es auf eine reine Poissonform bekämen, dann hätte das natürlich
den Vorteil, dass wir die Lösungsmethoden übernehmen können. Und wir werden jetzt sehen
wie wird das tatsächlich hinbekommen. Das führt uns auf den Begriff der Eichtransformation. Und
zwar folgendermaßen: wir können ja mal an nehmen wir hätten ein beliebiges skalares Feld Psi. Wenn
wir daraus einen Gradientenfeld Gradient Psi bilden und dann nochmal die Rotation anwenden,
dann verschwindet das, weil Rotation Gradient von irgendwas ist eben immer gleich 0.
Rotation ist deswegen interessant, weil das Vektorpotenzial und das Feld,
die magnetische Induktion, eben über den Rotationsoperator zusammenhängen. Also
nehmen wir mal an wir bilden ein neues Feld B‘, das soll sein Rotation von A‘. Und A' schreiben
wir jetzt A plus Gradient mit einem beliebigen Psi, also A plus Gradient Psi. Dann, wenn wir
jetzt den Rotationsoperator anwenden, sehen wir, dass hier tatsächlich nur Rotation A übrig bleibt,
weil Rotation Gradient Psi für jedes beliebige Ziel verschwindet d.h. wenn ich von A über gehe
zu einem A‘ in dem ich einen Gradientenfeld, ein beliebiges Gradientenfeld addiere, dann wird das
die magnetische Induktion nicht verändern. Das Gleiche sehen wir auch noch mal wenn wir uns
tatsächlich direkt die Gleichung die wir gerade hatten anschauen: Rotation Rotation gleich Mü mal
j. Auch hier kann ich natürlich zu einem A' übergehen. Und Rotation A' ist aber das gleiche
wie Rotation A d.h. die Gleichung verändert sich nicht. Mit dem gleichen j ist dann eben auch A‘
eine Lösung, wenn A eine Lösung ist. Sprich das Vektorpotenzial ist nur - bis auf eine solche
additive Konstante -Gradient Phi bestimmt. Und das ist außerordentlich hilfreich. Zunächst mal, geben
wir dem Ganzen einen Namen. In diesem Übergang von A nach A', in dem ich eben einen Gradientefeld
addiere - das nennt man eine Eichtransformation. Und die Tatsache, dass die magnetische Induktion
dabei unbeeindruckt bleibt - d.h. dass B‘ gleich B ist - diese Eigenschaften nennen wir
die Eichinvarianz, also B ist eichinvariant. Und um zu sehen wofür das gut ist schauen
wir uns einfach mal die Divergenz von A‘ an. Die Divergenz von A‘ das ist ja dann die Divergenz von
A plus Gradient Psi. Und das ist - ich ziehe den Operator einfach in die Klammer rein - Divergenz
A‘ plus Divergenz Gradient Psi. Und Divergenz Gradient das ist jetzt nicht 0 d.h. hier hinten
steht tatsächlich ein Summand. Ich kann also die Differenz von A' wird also eine andere
sein als die Divergenz von A, obwohl ich das Feld bei dieser Operation nicht verändere. Und
wenn wir uns jetzt unsere Differentialgleichungen anschauen, die wir zu lösen haben, dann sehen wir
da steht auch die Divergenz drin. Und weil ich die Differenz aber tatsächlich verändern kann, durch
diese Transformation, heißt das letztendlich, dass ich die Differenz von A beliebig wählen kann. Ich
kann immer ein Psi finden, sodass ich durch diesen Term Divergenz Gradient Phi einen Summenden habe,
der es mir ermöglicht Differenz A letztendlich auf jeden beliebigen Wert oder Differenz
A‘ auf jeden beliebigen Wert einzustellen. Sprich diese Eigenschaft ermöglicht es mir für
Divergenz A auch einfach eine Annahme zu machen, die mir gerade gut gefällt. Und so etwas Eichung.
Ja, und da wo ist diese Gleichung anschauen, was würde einem besonders gut gefallen. Das Erste,
was einem einfällt, ist natürlich welche Freiheit habe Divergenz A beliebig zu wählen. Dann wähle
ich eben Divergenz A gleich 0, dann fällt nämlich dieser ganze Term weg. Und das ist etwas was
tatsächlich auch in der Statik für statische Probleme sehr erfolgreich ist. Und diese Form
der Eichung nennt man die Coulombeichung. Wenn ich Coulombeichung verwende, dann heißt das ich setze
Divergenz A einfach gleich 0 und ich darf das, wie wir gerade gesehen haben. Damit vereinfacht sich
unsere Differentialgleichungen für A natürlich sehr stark.
Sie nimmt eine Poissonform an, in der Form Laplace A gleich minus Mü mal j. Wir müssen ein bisschen
aufpassen, weil dieser Laplace-Operator, den wir jetzt eben auf ein Vektorfeld anwenden,
das ist eigentlich ein anderer Operator als den den wir für skalare Felder erkennen. Also
Laplace-Operator angewendet Vektorfelder ist nicht der gleiche Operator will Laplace-Operator
angewendet auf Skalarfelder. Wenn man das wissen, was ist der Laplace-Operator,
dann muss ich letztendlich wieder reingehen in die Beziehung, die wir gerade hatten. Wir hatten
ja ausgenutzt das Rod Rod gleich GradDiv minus Laplace ist. Das kann ich natürlich auch umdrehen
und sagen Laplace ist gleich GraDiv minus Rod Rod. Und in einem allgemeinen Koordinatensystem
werde ich tatsächlich den Laplace-Operator über diese Beziehung GradDiv minus Rod Rod ausrechnen
müssen. Und das wird zum Problem und das wird etwas komplexer. Eben in Krummlinienkoordinaten,
weil dann sind eben die Einheitsvektoren nicht mehr ortsunabhängig und das führt
durch diese Operationen dazu, dass die Komponenten sich vermischen. Das heißt,
das zerfällt nicht mehr einfach in x-y-z-Anteil - das tut es in kartesischen Koordinaten - aber
eben in allgemeinen Krummlinienkoordinaten ist das nicht der Fall. Da muss man das
expizit ausrechnen und da muss man wirklich ein bisschen drauf aufpassen, also nicht den
Laplaceoperator angewendet Vektorfelder einfach verwechseln mit dem skalaren Laplace Operator.
Für kartesische Koordinaten, aber auch eben nur für kartesische Koordinaten, da zerfällt das aber
wie gewohnt. Das heißt, da können wir diese vektorielle Gleichung dann tatsächlich auch
einfach in drei skalare Gleichungen schreiben und dabei ist eben der Laplace-Operator dann
tatsächlich der skalare Laplace-Operator für kartesische Koordinaten, wie wir ihn kennen.
Und ich habe auch A und j einfach nochmal in kartesischen Koordinaten hingeschrieben.
Also in kartesischen Koordinaten geht das, aber zum Beispiel - um nur ein Beispiel zu nennen - in
Zylinderkoordinaten sieht die gleiche Gleichung wesentlich komplexer aus. Hier sieht man wie
sich die Komponenten vermischen d.h. ich habe hier eine Gleichung, in der zwar das A_Rho und
j_Rho auftauchen, aber eben nicht alleine sondern steht auch noch eine Ableitung nach Phi und eine
Ableitung nach Rho. Und das ist eben hier in der zweiten Gleichung ebenso der Fall. Nur die Dritte
sieht wieder gewöhnlich aus. Das erwartet man bei den Zylinderkoordinaten ja eigentlich auch
so. Und der Laplace-Operator, der hier jetzt auftaucht, das ist jetzt tatsächlich wieder der
skalare Laplace-Operator - in Zylinderkoordinaten hingeschrieben. Gut, also man sieht, das ist
tatsächlich im Allgemeinen wesentlich komplexer - aber nur eben in kartesischen Koordinaten einfach.
Aber auch das wird uns helfen. Das sehen wir bspw. mal hier. Und zwar interessiert uns jetzt
natürlich wie sieht denn die Lösung dann für das Vektorpotenzial aus. Und da ist es hilfreich dann
tatsächlich erstmal in kartesischen Koordinaten reinzugehen. Dann haben wir - wie wir es gerade
gesehen haben - drei Skalare Poissongleichungen und wenn wir die lösen wollen, dann wissen wir
ja wie wir eine Poissongleichung lösen - können wir eine Lösung, können wir auch 3 lösen. Und
die ganzen Lösungsmethoden, die wir in der Elektrostatik uns angeschaut haben,
die können wir Eins zu Eins tatsächlich übernehmen. Und d.h. auch, dass wir sowas
wie ein Analogon zum Coulomb-Integral finden. Das heißt wir können A_x, A_y und A_z einfach
hinschreiben als Volumenintegral j. Die entsprechende Komponente durch r minus r‘ und
dann brauchen natürlich noch ein Vorfaktor, den wir entsprechend anpassen müssen. Aber das
können wir im Prinzip direkt aus dem, was wir der Elektrostatik gelernt haben, übernehmen.
Nur, das wir es jetzt eben dreimal haben für die drei skalaren Komponenten. Jetzt könnte
man sagen: und was hilft das? Das was jetzt in kartesischen Koordinaten genug gelöst haben,
das hilft natürlich schon, weil wir können das in was wir hier in kartesischen Koordinaten gefunden
haben natürlich auch in koordinatenfrei zusammenfassen. Das liest man ja direkt ab,
dass das dann eben diese Form annimmt. Und jetzt können wir natürlich problemlos argumentieren:
Naja wir haben mal um das auszurechnen kartesische Koordinaten genommen, weil es dann eben besonders
einfach war, aber das Ergebnis das stimmt natürlich für beliebige Koordinatensysteme,
weil das Ergebnis kann ja nicht von der willkürlichen Wahl des Koordinatensystems
abhängig sein. Deshalb ist es durchaus hilfreich, dass eben die Differentialgleichungen für das
Vektorpotenzial sich in kartesischen Koordinaten zumindestens einfach schreibt. Das reicht schon
aus um tatsächlich die Gesamtlösung hinzuschreiben. Das heißt das wäre die
Lösung fürs Vektorpotenzial. Jetzt gibt einen wichtigen Spezialfall nämlich den, dass die
Stromdichte beschränkt ist auf linienförmige Wege. Also sprich auf Drähte - das wird jeder einsehen,
dass das in Elektrotechnik ein wichtiger Spezialfall ist -und dann kann ich natürlich
dieses Volumenintegral hier aufteilen. Ich habe zum einen eben die Stromdichte, die durch die
Querschnittsfläche dieses Leiter hindurchgeht und dann habe ich als weitere Integration noch
die Integration entlang des Stromfadens. Und das was durch die Querschnittfläche hindurchgeht das
ist ja einfach per Definition der Strom. Das haben wir beim Strömungsfeld schon so definiert. Sprich
für eine stromfadenartige Anordnung wird dieses Integral wesentlich einfacher. Wir haben den Strom
und das bleibt dann vom Volumenintegral tatsächlich nur noch ein Linienintegral
entlang des Stromfadens, der natürlich dann geschlossen sein muss übrig. Diesen Strom,
der wird ja ortsunabhängig sein wegen der Kotinuitätsgleichung, den können wir jetzt
tatsächlich auch vors Integral davorziehen. Und dann ist das ein sehr einfacher Ausdruck,
dm wir viele fälle dann eben auch ausrechnen können. Und letztendlich das was wir jetzt
hier fürs Vektorpotenzial ausgerechnet haben - entweder allgemein oder dann eben für den
Stromfaden - das führt uns dann auch zum Gesetz von Biot und Savar - das sie ja mit Sicherheit aus
den Grundlagen oder aus der Schule schon kennen - wir wissen b gleich Rotation A. Und A haben
wir gerade eben in dieser form hingeschrieben. Dann können wir natürlich auch B hinschreiben,
als im Wesentlichen das gleiche Integral jetzt aber eben mit demRotationsoperator. Ich hab
mal wieder dran geschrieben Rotationindex r - damit nicht vergessen wird, dass der Operator
hier jetzt auf das r und nicht etwa auf das r' wirkt. Und den Integranten können wir uns jetzt
natürlich einfach nochmal anschauen. Wir haben also zu bilden Rotation bezüglich r von j von r'
durch r minus r'. Formal können wir das einfach ausformulieren nach Produktregel also 1 durch r
minus r' und dann Rotation angewendet auf j von r'. Da sieht man schon wie hilfreich es ist,
dass der Rotationsoperator bezüglich r ist, weil j ist ja bezüglich r‘ d.h. dieser Term fällt weg.
Und der zweite Term ist dann eben minus j Kreuz Gradient 1 durch r minus r‘ - hier noch mal hin
geschrieben. Und Gradient 1 durch r minus r‘ kann ich ausrechnen, dass ist dann minus r
minus r' druch r minus r' Betrag hoch drei. Die beiden negativen Vorzeichen heben sich auf,
sodass dieser Term stehen bleibt und den wird man jetzt natürlich in die Formel hier oben einsetzen,
sodass wir auf diese Art und Weise das allgemeine Biot-Savar-Gesetz finden B gleich Mü durch 4Pi
mal das Volumenintegral j Kreuz r minus r‘ durch r minus r' hoch drei. Und so wie wir
es jetzt eben auch gemacht haben können wir natürlich das ganze auch für einen Stromfaden
wieder vereinfachen. Dann wird genau so wie eben auch aus dem Volumenintegral wieder nur
ein Wegintegral entlang des Stromfadens und das Integralquerschnittesfläche mal j kommt hier eben
als Strom nach vorne. Das Minuszeichen was hier auftauchte das entsteht einfach dadurch, dass hier
die beiden Produktterme im Kreuzprodukt jetzt hier vertauscht wurden um eine Form zu haben,
die vielleicht üblicher ist wie man sich ihn schreibt. Sie können es auch umgekehrt machen,
dann ist das Minus natürlich weg. Und einfach nur, damit es nicht in Vergessenheit gerät der Term,
den wir auf der letzten Folien unten stehen hatten, hier noch einfach mal wiederholt. Gut,
das würde uns jetzt schon reichen um tatsächlich - wenn wir Stromverläufe haben - sowohl das
E-Feld und auch das A-Feld auszurechnen d.h. damit kommt man schon relativ weit.
Natürlich aber nur wenn wir homogene Medien haben und der nächste Schritt ist eben das man sagt:
Okay, was passiert wenn wir zwei homogene Medien haben die aneinandergrenzen. Das führt uns also
auf die Stetigkeitsbedingung an Grenzflächen, die wir uns im allgemeinen Fall natürlich auch
schon angeschaut haben. Im Video verhaltener Grenzflächen haben wir das ganz allgemein schon
gezeigt. Und deshalb brauchen wir das hier tatsächlich nur nochmal zu wiederholen. Und
möchte nochmal daran erinnern, dass wir die Konvention hatten, dass der Normalenvektor
der hier bspw. auftaucht immer der ist der vom Medium 1 heraus zeigt. Das heißt vom Medium 1
in das Medium 2 zeigt - das ist wichtig für die Vorzeichenlage. Und ja, die beiden Bedingungen
die wir dann haben ist, dass die normal Komponente beim Übergang zwischen den Medien setig ist und,
dass die Tangentialkomponenten, genauer gesagt alle Tangentailkomponenten - weil ich habe
natürlich wieder mehrere Tangentialkomponenten oder beliebig viele Tangentialvektoren,
die auf diese Normalvektor senkrecht stehen. Also für alle Tangentialvektoren haben wir
diese Unstetigkeitsbedingungen wie Sie hier steht. Und die Unstetigkeit ist gegeben durch
auch wieder eine Tangentailkomponente der Oberflächenstromdichte und welche
Tangentialkomponente das ist das ergibt sich aus dieser Beziehung t_2 gleich n Kreux t d.h. n_t und
t_2 bilden ein orthogonales Dreibein, bilden ein Rechtssystem. Und darüber würde man eben
dann die Stetigkeit ausrechnen. Und das ist natürlich auch wichtig für Randwertprobleme,
weil die Stetigkeitsbedingungen liefern uns letztendlich ja die Randterme in Randwert
Aufgaben - entweder als Diricletsche Randbedinugnen oder als Neumannsche
Randbedingunen. Wir können das natürlich auch in Form von Brechungsgesetzen hinschreiben.
Insbesondere dann eben für J_F gleich 0 funktioniert das, wo ich dann also
Aussagen über Normal- und Tangentialkomponente von B herleiten kann. Ich kann ja, wenn das hier 0 ist
über B gleich Mü mal h hier auch eine Beziehung für die Tangentialkomponente von B herleiten.
Und mit den Winkelbeziehungen, die hier sind und den Festlegungen Mü_1 und Mü_2 bekomme ich dann
eben eine solches Brechungsgesetz.Das hatten wir ganz kurz auch schon mal für das elektrische Feld
hingeschrieben im Abschnitt stationäres elektrisches Strömungsfeld und deswegen
das Ganze jetzt hier auch mal ergänzt für die Magnetostatik. Als nächstes müssen wir jetzt noch
ein Paar Begrifflichkeiten nachliefern. Das werden wir nicht zu machen, dass wir jedes mal ins Detail
gehen, sondern wir können Herleitungen wieder so machen wie wir's auch Elektrostatik gemacht
haben. Deshalb können wir es hier tatsächlich sehr massiv abkürzen. Und wir fangen an mit der
Energie im magnetostatischen Feld und da ergibt sich analog zur Elektrostatik für die magnetische
Energiedichte 1/2 mal H mal B und damit wäre dann die gesamte magnetische Energie 1/2
Volumenintegral H mal B d_V. Wenn wir das mit der Stromdichte ausdrücken wollen. Und das ist gerade
in der Magnetostatik, wo wir häufig tatsächlich auch sehr konzentrierte Strömungsverläufe haben,
eine gute Idee. Dann können wir das machen. Wir machen das erstmal für lineare, homogene
und isotrope Medien, indem wir uns für diesen Fall eben die Energie nochmal hinschreiben. Dann ziehen
wir hier ein Faktor 1 durch Mü nach vorne und dafür taucht eben hier statt B mal H, eben B zum
Quadrat unterm Integral auf. Und des weiteren - um jetzt mit diesem B Quadrat umzugehen - betrachten
wir mal die Divergenz A Kreuz B - das ist formal einfach B mal Rotation A minus A mal Rotation B.
Und Rotation ist natürlich das B selber und hier sieht man schon warum wir das gemacht haben, weil
hier taucht dann eben das B Quadrat auf. Und der andere Term, das Rotation B was hier auftaucht,
das ist ja einfach Mü mal j Maxwellgleichung. Sodass wir einfach stehen haben Divergenz A Kreuz
B - das ist das B Quadrat, das brauchen wir hierfür - minus Mü A mal j. Über diese Beziehung,
die wir jetzt hier gefunden haben können wir also das B Quadrat unterm Integral ersetzen und dabei
tatsächlich die Stromdichte bekommen. Was einen zunächst mal vielleicht ein bisschen beunruhigen
könnte wäre, dass wir dann einen weiteren Summanden haben, aber die Tatsache, dass
wir dann ein Volumenintegral über einer Divergenz haben, das lässt schon ein bisschen hoffen. Und
das sehen wir jetzt, wenn wir das tatsächlich einsetzen. Wir können jetzt die magnetische
Energie schreiben als 1/2 Volumenintegral A mal j dV und dann kommt eben ein zweiter Term
hinzu. Und das ist eben ein Volumenintegral über Divergenz A Kreuz B. Naja und ein Volumenintegral
über die Divergenz, das ist natürlich nichts anderes als das Oberflächenintegral über die
Größe selber. Also Oberflächenintegral A Kreux B dA. Und wenn wir jetzt endlich ausgedehnte
Stromverteilung betrachten - das wird natürlich auch der Regelfall sein - dann können wir uns
hier in dem Term mal die Größen anschauen. Und das B was hier auftaucht ist nach Biot-Savar
proportional zu 1 durch R Quadrat - wenn wir R gegen Unendlich betrachten. Und das A selber
ist proportional 1 durch r, sodass das was hier unterm Integral steht proportional zu 1 durch r
hoch minus 3 ist. Und ja, wenn ich das Volumen aber gegen Unendlich gehen lasse, dann wächst
die Oberfläche natürlich nur quadratisch d.h. wir haben eine quadratisch wachsende Oberfläche, aber
einen Integranten der mit 1 durch r^3 abfällt. Das heißt dieses Oberflächenintegral wird 0 sein,
wenn ich das Volumen nur groß genug wähle. Und das kann ich bei einer endlich ausgedehnten
Stromverteilung natürlich immer machen. Sprich hier hinten dieses Integral fällt weg, sodass
ich dann eben die Energie einfach schreiben kann als 1/2 Volumenintegral mal A mal j.
Und dann lesen wir ab, dass die Energiedichte, die magnetische Energiedichte, dann eben ½ mal A mal j
ist und das ist natürlich sehr schön. Schauen wir weiter in der Begrifflichkeit,
einen weiteren Begriff, den sie natürlich auch kennen, ist der Begriff der Induktivität. Und
den können wir natürlich jetzt es auch hier aus dem Feldbild uns erschließen. Dazu betrachten wir
zwei Leiterschleifen, zwei Wege, eine Schleife 1, eine Schleife 2. Wir nehmen an, dass wir in der
Schleife 1 einen Strom I_1 haben. Und damit können wir natürlich das Feld, die magnetische Induktion,
die durch diesen Strom hervorgerufen wurde, nach Biot-Savart ausrechnen - das ist einfach
dieser Ausdruck wie er hier steht. Strom nach vorne gezogen und dann eben Umlaufintegral
über den Weg C_1. Die Punkte r‘_1 sind die Punkte auf diesem auf der ersten Schleife,
und r ist natürlich der Beobachtungspunkt an dem wir uns das anschauen. Was wir jetzt machen können
ist wir können uns anschauen, welcher magnetische Fluss greift denn jetzt durch die zweite Schleife
hindurch hervorgerufen vom Strom in der ersten Schleife. Das nennen wir Phi_m,2. Und das ist
dann natürlich einfach das Flussintegral - also Integral B_1 mal d_2. d_2 wäre jetzt
eben der Flächenvektor auf dieser Schleife. Mit dem entsprechenden Umlaufsinn haben sie
die Richtung. Und wir stellen einfach zunächst mal fest - das ist nicht spektakulär - das B_1
ist natürlich proportional zu I_1 und damit ist natürlich auch das Phi_m,2 proportional
zu 1 d.h wir können das schreiben in der Form wie Phi_m,2 ist gleich ein Wert,
der natürlich von der Schleife zwei abhängt. Also bekommt er mal einen Index 2 und er hängt aber
auch vom Strom 1 ab. Also bekommt er auch einen Wert 1 - ist also zunächst mal einfach eine Größe
mit zwei Indizes M_21 mal I_1. Und das M_21 das nennen wir die Gegeninduktivität und die Einheit
Gegeninduktivität ist dann Voltsekunde pro Ampère - was im SI-System auch Henry genannt wird. Und
bei der Berechnung des Flusses ,da liegt natürlich r‘_2 auf C_2. Und dieses Integral, das können wir
uns jetzt auch ein bisschen näher anschauen - das ist hier gut nochmal hin geschrieben - indem wir
jetzt einfach B als Rotation von B_1 aus Rotation A_1 schreiben. Dann haben wir ein Flächenintegral
über die Rotation - das ist natürlich nichts anderes als dass Umlaufintegral über die Größe
selber. Und die Größe kennen wir aber - das stand eben auf der Formel, auf der letzten Folie hier
unten noch drauf. Das heißt dass A_1 können wir auch einfach einsetzen. Das liefert einen
Vorfaktor Mü_0 durch vier Pi mal I_1 und dann eben das Umlaufintegral über die erste Schleife, sodass
wir letztendlich für den Fluss durch die zweite Schleife ein solches Doppelintegral bekommen. Und
an diesem Integral können wir jetzt tatsächlich ablesen, wie denn die Gegeninduktivität ist. Wir
brauchen einfach nur die beiden Terme miteinander zu vergleichen und kommen dann darauf, dass die
Gegenniduktivität eben gerade Mü_0 durch vier Pi mal dieses doppelte Wegintegral ist. Und das
nennen wir die Neumann Formel. Mit der Neumann Formel können sie die Gegeninduktivität jetzt
für beliebige Wege C_1, für beliebige Schleifen C_1 und C_2 tatsächlich ausrechnen. Und das ist
nicht immer besonders nützlich zur Berechnung - es geht, aber es ist nicht unbedingt immer der
einfachste Weg - aber man sieht an dieser Neumann Formel zwei wichtige, grundsätzliche Eigenschaften
der Gegeninduktivität. Nämlich zum ersten, wenn wir C_1 und C_2 vertauschen d.h. wenn wir jetzt
annehmen würden, dass nicht durch C_1 der Strom fließt und einen Fluss in C_2 hervorrufen würde;
sondern wenn wir denn einen Strom durch C_2 fließen würden, uns anschauen würden,
welcher Fluss wird dadurch in C_1 hervorgerufen, dann kämen wir auf den gleichen Ausdruck. Und
dieser Ausdruck ist ja auch vollkommen symmetrischen 1 und 2. Wir können die
Rollen von C_1 und C_2 vertauschen und bekommen die gleiche Gegeninduktivität. Das heißt diese
Gegeninduktivität, die ist gar nicht abhängig von der Frage: Was ist die Ursache und wo
schaue ich mir die Wirkung an? Ich kann also letztendlich auch die Indizes weglassen. Und
zum Anderen ist es eine rein geometrische Größe. Hier steckt tatsächlich wirklich nur die Geometrie
drin und sonst nichts. Das mal festzuhalten ist durchaus lohnend und das sieht man eben sofort
an der Neumann Formel. Es gibt ein Problem: wenn ich mal annehmen würde, wenn das gar nicht zwei
verschiedene Wege währen, sondern wenn ich sagen würde C_2 ist C_1 dann ist klar, dass
ich früher oder später natürlich Probleme hier mit Singularitäten bekomme, weil dann irgendwann r'_1
gleich r‘_2 ist. Das heißt ich kann die Neumann Formel nicht gut nehmen um tatsächlich diesen Fall
C_1 gleich C_2 zu betrachten, dann ist es besser tatsächlich zurückzugehen auf die Definition der
gegen Induktivität al Phi_m,1 wäre dann ja ein M_11 mal I_1. Und in dem Fall, wenn wir
gar nicht zwei Schleifen haben, sondern nur eine Schleife und uns sozusagen anschauen was wird denn
an Fluss induziert durch den eigenen Strom, dann sprechen wir von der Selbstinduktivität L oder
auch einfach nur von der Induktivität L - mit der Definition Phi_m ist gleich L mal I.
Ja, und für eine Leiterschleife können wir das natürlich dann auch direkt ausrechnen. Der Fluss
wäre ja einfach Integral B d_A. Und das ist dann aber, weil B Rotation ist und ich dann wieder
Stokes anwenden kann Umlaufintegral A ds. Und das soll sein L mal I, sprich wir bekommen für die
Selbstinduktivität L dann den einfachen Ausdruck 1 durch I mal Umlaufintegral A ds. Wir haben also
eine direkte Beziehung eigentlich zwischen dem Umlaufintegral A ds und der Induktivität. Das
ist nur noch mal einfach normiert auf den Strom der in dieser Schleife fließt. Und wir können
das natürlich auch mit der magnetischen Energie verknüpfen. Das ist ganz nett,
weil wir dann wieder Formeln kriegen, die wir aus den Grundlagen kennen. Wenn wir uns noch mal hin
schreiben, was ist denn die magnetische Energie also 1/2 Volumenintegral A mal J dV. Und jetzt
eben das Volumenintegral J wieder schreiben als ein Integral über die Querschnittsfläche. Das ist
ja dann der Strom mal den Wegintegral - dann haben wir diesen Ausdruck 1/2 mal Wegintegral A ds. Und
dieses Wegintegral A ds - das hatten wir gerade schon gesehen - das ist im Wesentlichen - bis
auf die Normierung - eben die Induktivität. Und wenn wir das einsetzen, bekommen wir den,
aus den Grundlagen altbekannten Ausdruck, 1/2 L mal I^2 für die magnetische Energie.
Ein Begriff, den wir auch einführen sollten, ist das magnetische Moment. Wir haben ganz am Anfang
ja schon mal gesagt es wird nicht den es wird kein Monopol geben in der Multipolentwicklung
und deshalb ist der Dipolterm natürlich ein besonders wichtiger. Und um da jetzt hinzuschauen,
schauen wir uns nochmal das magnetische Vektorpotenzial an. Und ja, ganz charakteristisch
haben wir hier natürlich diesen Term 1 durch r minus r‘ von dem wir uns schon angeschaut haben,
wie wir ihn entwickeln können. Der hat nämlich der Entwicklung 1 durch r plus r‘ mal r durch
r^3 plus und so weiter. Und diese Entwicklung, die können wir natürlich hier oben einsetzen - was uns
auf diese Form führt. Und ohne, dass ich das jetzt formal beweisen würde, lassen wir jetzt
tatsächlich einfach den Monopolterm der Vorne steht. Man kann das zeigen, dass der verschwindet,
aber ohne Beweis lassen wir ihn jetzt einfach weg. Und kommen dann auf eine Entwicklung für
Vektorpotenzial in der Form. Und dabei können wir jetzt diesen Integranden hier nochmal
schreiben. Auch das werden wir es nicht explizit vorführen, wie das geht; sondern das ist einfach
nur hingeschrieben und wenn wir das in dieser Form umschreiben, dann können wir diesen Term,
der jetzt nur von r' abhängt, den denen wir m am Ort r. Und auf diese Art und Weise können wir
das Vektorpotenzial eben auch als Entwicklung schreiben über solche Terme und wichtig ist
hier vor allen Dingen eben der führende Term, der Dipolterm, der mit dem magnetischen Moment M hier
nochmal hingeschrieben ist. Und so wie wir es beim elektrischen Feld auch gemacht haben,
wo wir dann ein Dipolfeld abgeleitet haben, können wir mit den gleichen Schritten tatsächlich auch
eine Entwicklung für die magnetische Induktion ableiten. Und der erste Term der dabei auftaucht,
das wäre hier jetzt einfach der Dipolterm. Gut, das soll hier jetzt zunächst man auch
tatsächlich für die Grundlagen ausreichen. Wie gesagt, werden wir jetzt in einem weiteren Beitrag
dann eben auch noch mal auf die Eigenschaften in Materie eingehen. Mehr werden wir aber
tatsächlich zu Magentostatik gar nicht brauchen, weil wir aus der Elektrostatik - die wir ja sehr,
sehr ausführlich gemacht haben - insbesondere die ganzen Lösungsmethoden übernehmen können und auch
das was wir über Randwertprobleme gesagt haben lässt sich tatsächlich eins zu eins
übertragen. Gut, damit bleibt mir nur mich bei Ihnen für ihre Aufmerksamkeit zu bedanken. Ich
verweise auf die Webseite, wo sie auch weitere Informationen finden. Bis zum nächsten Mal.