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1
00:00:04.546 --> 00:00:07.167
Einen wunderschönen guten Tag meine Damen
und Herren.

2
00:00:07.192 --> 00:00:13.133
Ich darf Sie ganz herzlich begrüßen zu einem
weiteren Beitrag aus der Reihe

3
00:00:13.133 --> 00:00:14.733
Theoretische Elektrotechnik.

4
00:00:14.733 --> 00:00:20.333
Es wird heute gehen um die Axiomatischen Grundlagen
der klassischen Feldtheorie,

5
00:00:20.333 --> 00:00:25.167
sprich die Axiomatischen Grundlagen der Maxwell-Gleichung.

6
00:00:25.167 --> 00:00:28.999
Mein Name ist Hans Georg Krauthäuser.

7
00:00:29.024 --> 00:00:32.233
Ich bin Inhaber der Professur Theoretische
Elektrotechnik und Elektromagnetische

8
00:00:32.233 --> 00:00:34.967
Verträglichkeit an der TU Dresden.

9
00:00:34.967 --> 00:00:40.467
Gut, lassen Sie uns direkt beginnen.

10
00:00:40.467 --> 00:00:47.500
Es geht also, wie bereits gesagt, um die axiomatischen
Grundlagen der klassischen

11
00:00:47.500 --> 00:00:48.900
Elektrodynamik. Axiomatischen Grundlagen?

12
00:00:48.900 --> 00:00:54.567
Von was denn eigentlich?

13
00:00:54.567 --> 00:00:57.333
Na ja, axiomatischen Grundlagen der Maxwell-Gleichung.

14
00:00:57.333 --> 00:01:01.000
Das sind bekanntermaßen die 4 Gleichungen
auf denen die elektromagnetische

15
00:01:01.000 --> 00:01:05.000
Feldtheorie basiert. Nehmen wir das ein wenig
auseinander.

16
00:01:05.000 --> 00:01:08.000
Wir haben 2 homogene partielle Differentialgleichungen
und 2 inhomogene

17
00:01:08.000 --> 00:01:17.000
partielle Differentialgleichungen und wenn
wir in der anderen Richtung schauen haben

18
00:01:17.000 --> 00:01:22.000
wir 2 Gleichungen, die einen vektoriellen Charakter
haben -das heißt, die eigentlich

19
00:01:22.000 --> 00:01:24.000
jeweils 3 Gleichungen sind.

20
00:01:24.000 --> 00:01:28.000
Und wir haben 2 skalare Gleichungen.

21
00:01:28.000 --> 00:01:33.000
Außerdem stellen wir fest, dass wenn nur die
vektoriellen Gleichungen tatsächlich

22
00:01:35.000 --> 00:01:41.000
zeitabhängige Gleichungen sind, das heißt
nur diese beiden Gleichungen sind eben auch

23
00:01:41.000 --> 00:01:42.000
tatsächlich dynamische Gleichungen.

24
00:01:42.000 --> 00:01:49.000
Die anderen beiden enthalten die Zeit nicht,
das heißt, das sind rein statische

25
00:01:49.000 --> 00:01:55.000
Gleichungen. Historisch gesehen, das werden
Sie wissen, ist es natürlich so, dass

26
00:01:55.000 --> 00:02:02.000
diese Gleichungen unabhängig voneinander aus
Beobachtungen gewonnen wurden und wir

27
00:02:02.000 --> 00:02:11.000
haben dann auch historische Namen: Coulomb-Gauß-Gesetz
hier, das Faradaysche

28
00:02:11.000 --> 00:02:19.000
Induktionsgesetz hier oben, oder das erweiterte
Ampèrsche Durchflutungsgesetz

29
00:02:19.000 --> 00:02:20.000
das wir hier haben – erweitert

30
00:02:20.000 --> 00:02:22.000
deswegen, weil noch der Beitrag

31
00:02:22.000 --> 00:02:25.000
von Maxwell drin steht.

32
00:02:25.000 --> 00:02:32.000
Und natürlich dann eben auch die Beziehung
die den Erhalt des magnetischen Flusses zum

33
00:02:32.000 --> 00:02:34.000
Ausdruck bringt, bzw.

34
00:02:34.000 --> 00:02:38.000
die Quellfreiheit des magnetischen Feldes.

35
00:02:38.000 --> 00:02:44.000
Maxwell, ich habe es grad schon gesagt, hat
den Verschiebungsstrom in das Ganze

36
00:02:44.000 --> 00:02:50.000
eingebracht und die Gleichung tatsächlich
auch zusammengeführt.

37
00:02:50.000 --> 00:02:55.000
Ich haben Ihnen auch ihrer noch mal die entsprechende
Originalquelle angegeben.

38
00:02:55.000 --> 00:03:02.000
Die heutige Formulierung die werden sie aber
in dieser Quelle nicht finden, sondern

39
00:03:02.000 --> 00:03:07.000
die ist später entwickelt und veröffentlicht
worden nämlich von Heaviside

40
00:03:07.000 --> 00:03:11.000
auf der Basis der Vektoranalysis.

41
00:03:11.000 --> 00:03:18.000
Aber die grundsächliche Frage, mit der wir
und heute hier beschäftigen wollen, ist die

42
00:03:18.000 --> 00:03:23.000
Frage nach dem woher, das heißt, was ist eigentlich
das tiefere Fundament dieser

43
00:03:23.000 --> 00:03:27.000
Gleichung. Gibt es eine axiomatische Basis
und wenn ja, wie lautet diese?

44
00:03:27.000 --> 00:03:35.000
Das was ich Ihnen heute dazu präsentieren
werde, ist veröffentlicht.

45
00:03:35.000 --> 00:03:43.000
Sie finden eine schöne Arbeit von Gronwald,
Hehl und Nitsch “Axiomatics of classical

46
00:03:43.000 --> 00:03:50.000
electrodynamics and its relation to gauge field
theory“ in den „Physics Notes“.

47
00:03:50.000 --> 00:03:57.000
Die Quelle ist hier angegeben, da können Sie
tatsächlich auch noch einmal in Ruhe

48
00:03:57.000 --> 00:04:02.000
nachlesen. Wir fangen an mit der Ladungsdichte,
bzw.

49
00:04:02.000 --> 00:04:04.000
dann auch mit der Ladung.

50
00:04:04.000 --> 00:04:10.000
Die Ladung erscheint im Coulomb-Gauß-Gesetz
was wir gerade auch schon gesehen haben in

51
00:04:10.000 --> 00:04:17.000
Form der Volumen Ladungsdichte roh_V und natürlich
kann ich dann über eine

52
00:04:17.000 --> 00:04:24.000
Volumenintegration von der Volumenladungsdichte
auf die Ladung in ein

53
00:04:24.000 --> 00:04:30.000
Volumenelement kommen. Das heißt, und das
wird jetzt wichtig werden, dass roh_V ist

54
00:04:30.000 --> 00:04:35.000
der Integrand eines Volumenintegrals.

55
00:04:35.000 --> 00:04:38.000
Warum ist das wichtig?

56
00:04:38.000 --> 00:04:44.000
Na ja, wir springen mal in die Mathematik,
wir springen mal zum Lemma von Poincaré.

57
00:04:44.000 --> 00:04:51.000
Das finden Sie in verschiedenen Formen, aber
wir werden das hier in aller Knappheit

58
00:04:51.000 --> 00:04:55.000
und auch nur für den dreidimensionalen Fall
noch einmal darstellen.

59
00:04:55.000 --> 00:05:03.000
Das Poincaré-Lemma sagt uns unter welchen
Bedingungen eine Größe als Ableitung einer

60
00:05:03.000 --> 00:05:05.000
anderen Größe dargestellt werden kann.

61
00:05:05.000 --> 00:05:10.000
Also im Prinzip aus einem Potential hergeleitet
werden kann.

62
00:05:10.000 --> 00:05:13.000
Das ist natürlicher Weise nicht eingeutig,
das führt auch auf den

63
00:05:13.000 --> 00:05:15.000
Begriff der Eichung, dazu später mehr.

64
00:05:15.000 --> 00:05:19.000
Hier machen wir jetzt erst einmal die reine
Mathematik.

65
00:05:19.000 --> 00:05:26.000
Im Spezialfall des dreidimensionalen Raumes
nur der brauch und hier zu interessieren

66
00:05:26.000 --> 00:05:33.000
gibt es drei wichtige Formulierungen oder Aussagen
des Poincaré-Lemmas.

67
00:05:33.000 --> 00:05:38.000
Zunächst einmal ist es so, dass so lange wir
uns auf einem einfachen

68
00:05:38.000 --> 00:05:43.000
zusammenhängenden Gebiet befinden und dort
haben wir einen Wirbelfreies Vektorfeld,

69
00:05:43.000 --> 00:05:50.000
das dieses dann Gradient eines Potentialfeldes
ist.

70
00:05:50.000 --> 00:06:01.000
Das heißt, es gibt ein Feld F, so dass dieses
wirbellose Vektor Feld alpha, dann

71
00:06:01.000 --> 00:06:06.000
eben dargestellt werden kann als alpha gleich
Gradient dieses Potentialfeldes.

72
00:06:06.000 --> 00:06:11.000
Zweitens, wenn wir auf einem konvexen Gebiet
sind und haben dort eine

73
00:06:11.000 --> 00:06:18.000
quellenfreies Vektorfeld, also die Divergenz
verschwindet, dann kann dieses

74
00:06:18.000 --> 00:06:24.000
Feld dargestellt werden als die Rotation eines
Vektorfeldes.

75
00:06:24.000 --> 00:06:33.000
Drittens, wenn wir eine skalare Felddichte
haben, dann können wir die als Divergenz

76
00:06:33.000 --> 00:06:36.000
eines Vektorfeldes darstellen.

77
00:06:36.000 --> 00:06:46.000
Und immer dann, wenn diese skalar Felddichte
Gamma ein Volumenintegrand ist -

78
00:06:46.000 --> 00:06:51.000
das heißt, wenn sie unter einem Volumenintegral
auftaucht - können wir das

79
00:06:51.000 --> 00:06:55.000
tatsächlich darstellen als die Divergenz eines
Vektorfeldes Betta.

80
00:06:55.000 --> 00:06:59.000
Und dieser dritte Fall ist der, den wir jetzt
anwenden.

81
00:06:59.000 --> 00:07:04.000
Und das heißt wir springen wieder zurück
zur Ladungsdichte und machen einfach

82
00:07:04.000 --> 00:07:11.000
weiter: Roh_V ist hier der Integrand eines
Volumenintegrals und somit können wir die

83
00:07:11.000 --> 00:07:22.000
dritte Aussage des Poincaré-Lemmas anwenden
und bekommen dann eben sofort unmittelbar

84
00:07:22.000 --> 00:07:24.000
das Coulomb-Gauß-Gesetz.

85
00:07:24.000 --> 00:07:29.000
Da brauchen wir und gar nichts an zunehmen,
reine Mathematik die wir hier angesetzt

86
00:07:29.000 --> 00:07:33.000
haben und die Definition das eben die Ladung
das Volumenintegral einer

87
00:07:33.000 --> 00:07:38.000
Ladungsdichte, einer Volumenladungsdichte ist
und schon haben wir die Divergenz

88
00:07:38.000 --> 00:07:47.000
gleich roh_V. Ladungen werden sich typischerweise
auch mit einer gewissen

89
00:07:47.000 --> 00:07:54.000
Geschwindigkeit in der Materie bewegen und
wenn wir schon bei der Ladung sind können

90
00:07:54.000 --> 00:08:00.000
wir auch schon direkt uns diese Bewegung anschauen
und darüber die Stromdichte J

91
00:08:00.000 --> 00:08:05.000
einfügen. Es gilt dann einfach dass die Stromdichte
nichts anderes ist als die

92
00:08:05.000 --> 00:08:08.000
Ladungsdichte multipliziert mit der Materialgeschwindigkeit
- mit der

93
00:08:08.000 --> 00:08:13.000
Geschwindigkeit der Ladungsträgerdichte.

94
00:08:13.000 --> 00:08:18.000
Wenn wir die Ladungsträgerdichte haben, kommen
wir auf einfache

95
00:08:18.000 --> 00:08:20.000
Weise natürlich auch zum Strom.

96
00:08:20.000 --> 00:08:27.000
Der Strom ist dann einfach definiert als der
Fluss dieser Ladungsträger - der

97
00:08:27.000 --> 00:08:34.000
Stromdichte J - durch eine Oberfläche, so
dass wir hier also ein gewisses

98
00:08:34.000 --> 00:08:37.000
Oberflächenintegral haben.

99
00:08:37.000 --> 00:08:42.000
Das war jetzt noch keine Aktion was wir bist
jetzt gemacht haben.

100
00:08:42.000 --> 00:08:47.000
Wir haben gesehen, dass wir die eine Gleichung
eben sofort aus der Mathematik

101
00:08:47.000 --> 00:08:50.000
und aus der Definition der Ladung ableiten
können.

102
00:08:50.000 --> 00:08:54.000
Jetzt kommen wir tatsächlich zu etwas Axiomatischen,
jetzt kommen wir zur

103
00:08:54.000 --> 00:09:00.000
Ladungserhaltung. Wir postulieren also Ladungserhaltung.

104
00:09:00.000 --> 00:09:05.000
Wenn sich also Ladung in einem Volumen ändert,
dann geschieht das nur dadurch,

105
00:09:05.000 --> 00:09:10.000
dass sie durch die Oberfläche eines Volumens
hindurchströmt.

106
00:09:10.000 --> 00:09:14.000
Die Ladungsdichteverteilung kann sich natürlich
innerhalb eines Volumens

107
00:09:14.000 --> 00:09:16.000
verschieben das würde aber nicht die Gesamtladung
im Volumen ändern.

108
00:09:16.000 --> 00:09:24.000
Die Gesamtladung im Volumen ändert sich nur,
wenn tatsächlich ein Strom durch die

109
00:09:24.000 --> 00:09:25.000
Oberfläche hindurchtritt.

110
00:09:25.000 --> 00:09:31.000
Das können wir jetzt natürlich auch wieder
mathematisch formulieren.

111
00:09:31.000 --> 00:09:35.000
Wir betrachten die materielle Ableitung - substanzielle
Ableitung sagt man auch

112
00:09:35.000 --> 00:09:42.000
häufig - ist auch eng verknüpft mit dem totalem
Differential der Ladung in diesem

113
00:09:42.000 --> 00:09:46.000
Volumen. Das ist hier hingeschrieben, die soll
eben tatsächlich verschwinden.

114
00:09:46.000 --> 00:09:53.000
Das ist das axiomatische Postulat und dann
brauchen wir das nur auszurechnen, das gibt

115
00:09:53.000 --> 00:09:56.000
hier eben diese Ableitung in zwei Teile.

116
00:09:56.000 --> 00:10:01.000
Einerseits eben die Änderung der Ladungsverteilung
im Volumen und dann -

117
00:10:01.000 --> 00:10:10.000
ganz wichtig - eben die Veränderung, die dadurch
hervorgerufen ist, dass Ladungen

118
00:10:10.000 --> 00:10:13.000
mit einer gewissen Geschwindigkeit durch die
Oberfläche hindurch treten.

119
00:10:13.000 --> 00:10:18.000
Das ist ja letztlich nichts anderes als die
Stromdichte - hier noch einmal

120
00:10:18.000 --> 00:10:25.000
hingeschrieben. So dass wir hier also zwei
Beträge haben dQ nach dt, das wäre der

121
00:10:25.000 --> 00:10:28.000
erste Beitrag plus eben der

122
00:10:28.000 --> 00:10:30.000
Strom der Ladung durch die

123
00:10:30.000 --> 00:10:33.000
Oberfläche dieses Volumens.

124
00:10:33.000 --> 00:10:41.000
Wenn wir hier weiter machen, dann sehen wir
das wir hier ein Oberflächenintegral

125
00:10:41.000 --> 00:10:47.000
haben. Wir können nach dem Satz von Gauß
natürlich dieses Integral über die

126
00:10:47.000 --> 00:10:51.000
Oberfläche auch identifizieren oder auch anders
schreiben als ein Volumenintegral,

127
00:10:51.000 --> 00:10:56.000
jetzt aber nicht mehr über die Größe selber,
sondern über die Divergenz der

128
00:10:56.000 --> 00:10:58.000
entsprechenden Größe.

129
00:10:58.000 --> 00:11:03.000
Wenn wir dann zwei Volumenintegrale haben,
können wir das unter ein Integral ziehen

130
00:11:03.000 --> 00:11:09.000
und bekommen eben diesen Ausdruck hier.

131
00:11:09.000 --> 00:11:17.000
Von hier nach hier ist eben roh_V mal durch
J ersetzt, um die Stromdichte auch hier

132
00:11:17.000 --> 00:11:18.000
ins Spiel zu bringen.

133
00:11:18.000 --> 00:11:26.000
Immer noch gilt, dass nach unserem axiomatischen
Postulat dieser gesamt

134
00:11:26.000 --> 00:11:30.000
Ausdruck 0 sein soll und zwar für jedes beliebige
Volumen.

135
00:11:30.000 --> 00:11:36.000
Und damit das für jedes beliebige Volumen
richtig sein kann, bleibt nichts anderes

136
00:11:36.000 --> 00:11:42.000
übrig, als das tatsächlich dieser Integrand
verschwindet.

137
00:11:42.000 --> 00:11:50.000
Auf diese Art und Weise haben wir hier eine
Gleichung herausgezogen die wir auch

138
00:11:49.000 --> 00:11:51.000
gleich noch benennen werden.

139
00:11:51.000 --> 00:11:53.000
Wir machen aber erst noch weiter.

140
00:11:53.000 --> 00:12:03.000
Wenn wir jetzt wiederum sehen, dass schon das
rho_V als Divergenz D ausgedrückt

141
00:12:03.000 --> 00:12:10.000
haben, auf der Folie davor, dann können wir
das hier natürlich ersetzen, haben dann

142
00:12:10.000 --> 00:12:16.000
zwei Therme wo die Divergenz auftaucht, so
dass wir die Divergenz einfach davor ziehen

143
00:12:16.000 --> 00:12:21.000
können und bekommen diese einfache Form.

144
00:12:21.000 --> 00:12:30.000
Wie auch eben schon gesagt, dies gilt für
beliebige Volumina und kann dementsprechend

145
00:12:30.000 --> 00:12:37.000
nur richtig sein - das kann nur gleich 0 sein
-, wenn tatsächlich der Integrand

146
00:12:37.000 --> 00:12:42.000
immer für beliebige Volumina gleich 0 ist.

147
00:12:42.000 --> 00:12:55.000
Das halten wir fest und ich hatte Ihnen ja
versprochen, dass wir dieser Gleichung auch

148
00:12:55.000 --> 00:13:00.000
einen Namen geben, die meisten werden es schon
kennen, das ist die wohlbekannte

149
00:13:00.000 --> 00:13:08.000
Kontinuitätsgleichung, die wir ganz offenbar
sofort mathematisch aus dem

150
00:13:08.000 --> 00:13:11.000
Postulat der Ladungserhaltung bekommen.

151
00:13:11.000 --> 00:13:24.000
Jetzt schauen wir uns wieder diesen Ausdruck
an, den wir gerade gewonnen haben

152
00:13:24.000 --> 00:13:26.000
und der eben gleich 0 ist.

153
00:13:26.000 --> 00:13:35.000
Und wir nehmen wieder das Poincaré Lemma –
nun in der zweiten Form - und stellen fest

154
00:13:35.000 --> 00:13:42.000
(oder können dann einfach ablesen), wenn diese
Divergenz verschwindet, dann können

155
00:13:42.000 --> 00:13:48.000
wir das was hier als Vektorfeld drin steht
auch ausdrücken als die Rotation

156
00:13:48.000 --> 00:13:50.000
eines weiteren Vektorfeldes.

157
00:13:50.000 --> 00:13:56.000
Was uns auf diesen Ausdruck führt: Damit hätten
wir also dD

158
00:13:56.000 --> 00:14:03.000
nach dt + J gleich Rotation A.

159
00:14:03.000 --> 00:14:10.000
Und wenn wir das umstellen, dann sehen wir
sofort: das ist eine weitere

160
00:14:10.000 --> 00:14:18.000
Maxwell-Gleichung. Zwischenfazit: Aus der Definition
der Ladungsdichte und Poincaré 3

161
00:14:18.000 --> 00:14:24.000
folgt sofort die Gleichung in der Form des
Coulomb-Gauß-Gesetzes.

162
00:14:24.000 --> 00:14:32.000
Man kann das in der Form darstellt: Es gib
ein Vektorpotential, ein Vektorfeld D, so

163
00:14:32.000 --> 00:14:35.000
dass Divergenz D gleich rho_V ist.

164
00:14:35.000 --> 00:14:43.000
Mit dem Axiom der Ladungserhaltung und Poincaré
2 und der obigen Beziehung - also

165
00:14:43.000 --> 00:14:47.000
Divergenz D gleich rho_V - , bekommen wir die
nächste Maxwellgleichung Rotation H

166
00:14:47.000 --> 00:14:50.000
minus dD nach dt gleich J.

167
00:14:50.000 --> 00:14:55.000
Wir geben den Größen jetzt sofort Namen.

168
00:14:55.000 --> 00:15:01.000
Wir haben die elektrische Anregung D - historisch
heißt das die elektrische

169
00:15:01.000 --> 00:15:06.000
Verschiebung. Wir werden in den meisten Fällen
auch bei dielektrischer Verschiebung

170
00:15:06.000 --> 00:15:10.000
später bleiben aber die moderne Ausdrucksweise
wäre elektrische Anregung.

171
00:15:10.000 --> 00:15:14.000
Wir haben die magnetische Anregung - historisch
gesehen das Magnetfeld H.

172
00:15:14.000 --> 00:15:20.000
Und was man auch feststellen muss: wir haben
bisher überhaupt nicht auf Kräfte

173
00:15:20.000 --> 00:15:24.000
zurück gegriffen. Das ist etwas, wenn Sie
mal an anderen Stellen schauen nach

174
00:15:24.000 --> 00:15:28.000
axiomatischen Einführungen, dann wird üblicherweise
sehr früh auf Kräfte

175
00:15:28.000 --> 00:15:32.000
zurückgegriffen. Ich wollte hier, das finde
ich schön an dem Ansatz von Gronwald,

176
00:15:32.000 --> 00:15:41.000
Hehl und Nitsch, dass sie eben relativ weit
kommen, ohne Kräfte zu benötigen.

177
00:15:41.000 --> 00:15:52.000
Die Ladungserhaltung, dass muss man wissen
und ist eigentlich nicht Thema hier und ich

178
00:15:52.000 --> 00:15:56.000
will es aber der Vollständigkeit halber nicht
unerwähnt lassen.

179
00:15:56.000 --> 00:16:02.000
Die Ladungserhaltung gilt auch mikroskopisch
und damit gelten tatsächlich

180
00:16:02.000 --> 00:16:09.000
auch die inhomogene Maxwell-Gleichung die wir
ja gerade schon abgeleitet haben, eben

181
00:16:09.000 --> 00:16:11.000
auch mikrophysikalisch.

182
00:16:11.000 --> 00:16:15.000
Das heißt elektrische und magnetische Anregungen
bzw.

183
00:16:15.000 --> 00:16:19.000
mit den historischen Formulierungen dielektrische
Verschiebung und das

184
00:16:19.000 --> 00:16:23.000
Magnetfeld sind mikrophysikalische Größen.

185
00:16:23.000 --> 00:16:29.000
Wichtig ist auch die Erkenntnis, dass die Ladung
auch relativistisch

186
00:16:29.000 --> 00:16:31.000
eine invariante Größe ist.

187
00:16:31.000 --> 00:16:38.000
Das heißt, dass die inhomogene Maxwell-Gleichung
auch relativistisch

188
00:16:38.000 --> 00:16:41.000
invariant formuliert werden können.

189
00:16:41.000 --> 00:16:45.000
Auch das ist eine wichtige Erkenntnis.

190
00:16:45.000 --> 00:16:50.000
Jetzt kommen wir tatsächlich, ich habe ja
gerade gesagt, dass wir bis jetzt nicht auf

191
00:16:50.000 --> 00:16:53.000
Kräfte zurückgegriffen, jetzt werden wir
das machen und zwar auch in einer

192
00:16:53.000 --> 00:16:55.000
axiomatischen Art und Weise.

193
00:16:55.000 --> 00:17:06.020
Das heißt, wir werden als zweites Axiom annehmen,
dass die Lorenzkraft genau die

194
00:17:06.020 --> 00:17:10.020
Form hat, wie wir sie tatsächlich auch experimentell
kennen.

195
00:17:10.020 --> 00:17:19.020
Sie kennen diesen Ausdruck F gleich Q mal E
plus U kreuz B, wenn u die Geschwindigkeit

196
00:17:19.020 --> 00:17:24.020
der entsprechenden Ladung ist, ist F die entsprechende
Kraft, die auf diese Ladung

197
00:17:24.020 --> 00:17:30.020
wirken würde, wenn gleichzeitig ein E Feld
und ein B Feld vorhanden sind.

198
00:17:30.020 --> 00:17:36.020
Das ist wirklich experimentell hervorragend
bestätigt und wenn wir es nicht weiter

199
00:17:36.020 --> 00:17:39.020
begründen können, machen wir daraus eben
jetzt daraus ein Axiom.

200
00:17:39.020 --> 00:17:45.020
Hierbei wird ganz nebenbei die elektrische
Feldstärke eingeführt.

201
00:17:45.020 --> 00:17:51.020
Wir nutzen jetzt in der weiteren Betrachtung
das Relativitätsprinzip.

202
00:17:51.020 --> 00:17:55.020
Das Relativitätsprinzip besagt, das sich physikalische
Gesetze sich unabhängig von

203
00:17:55.020 --> 00:18:00.080
den Inertialsystemen in der gleichenArt und
Weise schreiben lassen.

204
00:18:00.080 --> 00:18:03.080
Wir betrachten jetzt also zwei Inertialsysteme.

205
00:18:03.080 --> 00:18:09.080
Das eine ist das Laborsystem, da werde ich
keinen Strich dran machen.

206
00:18:09.080 --> 00:18:17.080
Das bewegt sich zu dem Ruhesystem der Ladung
- da werde ich einen Strich dran

207
00:18:17.080 --> 00:18:22.080
machen - mit einer Geschwindigkeit die wir
u nennen.

208
00:18:22.080 --> 00:18:31.080
Und die Annahme ist die, dass wir im Ruhesystem
der Ladung einfach mal kein

209
00:18:31.080 --> 00:18:38.080
E-Feld haben. Also E Strich gleich 0 im Ruhefeld
der Ladung.

210
00:18:38.080 --> 00:18:43.080
Im Ruhefeld der Ladung habe ich natürlich
auch keine Geschwindigkeit, das ist ja dann

211
00:18:43.080 --> 00:18:44.080
das Ruhesystem der Ladung.

212
00:18:44.080 --> 00:18:49.080
Und man erkennt natürlich leicht, wenn E gleich
0 ist und u gleich 0 ist muss

213
00:18:49.080 --> 00:18:51.080
natürlich auch der gesamte Ausdruck gleich
0 sein.

214
00:18:51.080 --> 00:18:56.080
Das heißt im Ruhesystem der Ladung ist, wenn
ich kein E-Feld habe, die Kraft auf

215
00:18:56.080 --> 00:18:58.080
diese Ladung gleich 0.

216
00:18:58.080 --> 00:19:01.040
Damit wird auch diese Ladung nicht beschleunigt.

217
00:19:01.040 --> 00:19:07.040
Die Beschleunigung der Ladung, das ist aber
ein physikalischer Vorgang, den müsste ich

218
00:19:07.040 --> 00:19:10.040
tatsächlich in jedem Inertialsysteme beobachten
können.

219
00:19:10.040 --> 00:19:16.040
Wenn es im Ruhesystem nicht beschleunigt wird,
dann darf es auch in jedem anderen

220
00:19:16.040 --> 00:19:19.040
System nicht beschleunigt werden, weil das
sind ja Inertialsysteme.

221
00:19:19.040 --> 00:19:23.040
Damit muss auch die Kraft im Laborsystem verschwinden.

222
00:19:23.040 --> 00:19:26.040
Die Kraft im Laborsystem ist diese Kraft.

223
00:19:26.040 --> 00:19:32.040
Jetzt ist aber tatsächlich u eine Geschwindigkeit
ungleich 0.

224
00:19:32.040 --> 00:19:39.040
Und damit der gesamte Ausdruck gleich 0 ist,
bleibt nichts anderes übrig, als dass

225
00:19:39.040 --> 00:19:45.040
ich jetzt tatsächlich eine elektrische Feldstärke
E habe - genau in der Form E

226
00:19:45.040 --> 00:19:48.040
gleich minus u Kreuz B.

227
00:19:48.040 --> 00:19:56.040
Die beiden Feldstärken E und B - B ist historisch
gesehen die magnetische

228
00:19:56.040 --> 00:20:01.000
Induktion - sind also nicht unabhängig voneinander.

229
00:20:01.000 --> 00:20:07.000
Sie können nicht unabhängig voneinander sein,
wenn ich die Lorenzkraft als gegeben

230
00:20:07.000 --> 00:20:13.000
annehme und wenn das Relativitätsprinzip Gültigkeit
hat: eine ganz wichtige

231
00:20:13.000 --> 00:20:20.000
Erkenntnis. Weiter machen wir mit einem Axiom
3 „Erhaltung eines magnetischen

232
00:20:20.000 --> 00:20:28.000
Flusses“. Der magnetische Fluss ergibt sich,
wenn ich das B Feld über eine

233
00:20:28.000 --> 00:20:36.000
Oberfläche integriere, das heißt ich schaue
mir an, wieviel B Feld greift durch diese

234
00:20:36.000 --> 00:20:38.000
Fläche S hindurch.

235
00:20:38.000 --> 00:20:41.000
Das ist der magnetische Fluss durch die Fläche.

236
00:20:41.000 --> 00:20:49.000
Analog zur Ladungserhaltung können wir dann
auch mit den gleichen Argumenten eine

237
00:20:49.000 --> 00:20:53.000
Flusserhaltung bekommen.

238
00:20:53.000 --> 00:20:58.000
Schreibt sich genauso hin und die Argumente
sind die Gleichen deshalb kürze ich das

239
00:20:58.000 --> 00:21:01.060
hier ab und ich bekomme eine solchen Ausdruck.

240
00:21:01.060 --> 00:21:09.060
Und hierbei habe ich jetzt eingeführt tatsächlich
einen magnetischen Fluss, eine

241
00:21:09.060 --> 00:21:12.060
magnetische Flussstromdichte.

242
00:21:12.060 --> 00:21:21.060
Auch hier kann ich jetzt tatsächlich wieder
mathematisch umformen und habe hier dieses

243
00:21:21.060 --> 00:21:25.060
Ringintegral entlang des Umfanges der Fläche
S.

244
00:21:25.060 --> 00:21:34.060
Und darüber kann ich mit dem Stokes-Theorem
auch ein Flächenintegral machen.

245
00:21:34.060 --> 00:21:43.060
Und wenn ich jetzt noch ausnutze, wie der Fluss
und das Magnetfeld in Verbindung

246
00:21:43.060 --> 00:21:49.060
stehen und das hier einsetze, dann sehen Sie,
dass sich hier zwei Flächenintegrale

247
00:21:49.060 --> 00:21:52.060
habe. Die könnte ich jetzt wieder zu einem
Flächenintegral zusammenführen.

248
00:21:52.060 --> 00:21:55.060
Insgesamt muss das gleich 0 sein.

249
00:21:55.060 --> 00:22:02.020
Und auch hier bleibt eben nichts anderes übrig,
als das der Integrand verschwindet,

250
00:22:02.020 --> 00:22:05.020
weil das für jede beliebige Fläche gelten
müsste.

251
00:22:05.020 --> 00:22:20.020
Bildet man die Divergenz dieses Ausdruckes,
dann folgt wegen der Vektoridentität

252
00:22:20.020 --> 00:22:33.020
Divergenz Rotation von irgendwas ist gleich
0 folgt, dass die Divergenz von dB nach dt

253
00:22:33.020 --> 00:22:41.020
verschwindet. Das heißt anders ausgedrückt
die Divergenz B, das kann ich mal sagen,

254
00:22:41.020 --> 00:22:49.020
ist so was wie eine magnetische Ladungsdichte,
die muss dann konstant sein,

255
00:22:49.020 --> 00:22:51.020
weil die Ableitung verschwindet ja.

256
00:22:51.020 --> 00:22:54.020
Das heißt sie darf nicht zeitabhängig sein,
das ist das, was hier zu

257
00:22:54.020 --> 00:22:56.020
Ausdruck gebracht worden ist.

258
00:22:56.020 --> 00:23:01.080
Das heißt die magnetische Ladungsträgerdichte,
wenn es sie gibt, die

259
00:23:01.080 --> 00:23:10.080
ist auf jeden Fall zeitlich invariant und ...

260
00:23:10.080 --> 00:23:13.080
Entschuldigung gehen wir noch einmal zurück
… war etwas zu schnell ..

261
00:23:13.080 --> 00:23:19.080
Bitte schauen Sie sich diese Gleichung auch
noch einmal an da werden wir auch gleich

262
00:23:19.080 --> 00:23:24.080
noch mal darauf zurückkommen, die sieht ja
schon fast so aus, wie eine unserer

263
00:23:24.080 --> 00:23:32.080
Maxwell-Gleichung nämlich wie das Induktionsgesetz,
nur das hier an der

264
00:23:32.080 --> 00:23:48.080
Stelle des E-Feld jetzt hier die magnetische
Stromdichte steht.

265
00:23:48.080 --> 00:23:55.080
Wir machen weiter mit der Erhaltung des magnetischen
Flusses und nutzen wieder das

266
00:23:55.080 --> 00:23:57.080
Relativitätsprinzip, das haben wir ja schon
einmal benutzt.

267
00:23:57.080 --> 00:24:02.040
Ist also nichts Neues, was jetzt dazu käme.

268
00:24:02.040 --> 00:24:15.040
Wir nehmen einmal an, dass in einem System
eben gilt, wie ich das auf der letzten

269
00:24:15.040 --> 00:24:20.040
Folie eben schon gezeigt haben, dass die Ableitung
der magnetischen

270
00:24:20.040 --> 00:24:22.040
Ladungsträgerdichte gleich 0 ist.

271
00:24:22.040 --> 00:24:30.040
Dann gibt es an jedem Ort einen zeitlich konstanten
Wert.

272
00:24:30.040 --> 00:24:32.040
Das ist die Aussage.

273
00:24:32.040 --> 00:24:41.040
Wenn wir jetzt in ein anderes Inertialsystem
wechseln, das sich zu diesem

274
00:24:41.040 --> 00:24:48.040
Inertialsystem mit einer Geschwindigkeit bewegt,
dann würde ein Beobachter in diesem

275
00:24:48.040 --> 00:24:57.040
anderen Inertialsystem ja eine Verteilung sehen,
die sich zeitlich ändert.

276
00:24:57.040 --> 00:25:04.000
Im einfachsten Fall stellen sie sich einfach
vor, Sie haben in einem Teil des

277
00:25:04.000 --> 00:25:10.000
Gebietes zum Beispiel ein bestimmen Wert von
rho_magnetisch, im anderen Teil des

278
00:25:10.000 --> 00:25:12.000
Gebietes ist der 0.

279
00:25:12.000 --> 00:25:20.000
Dann wäre d rho_magnetisch nach dt gleich
0 zunächst einmal überall erfüllt.

280
00:25:20.000 --> 00:25:27.000
Wenn Sie jetzt das Inertialsystem wechseln,
in der Form, dass Sie als Beobachter sich

281
00:25:27.000 --> 00:25:32.000
relativ dazu bewegen, dann ist das ja das gleiche
als würde ich meine Hand jetzt

282
00:25:32.000 --> 00:25:39.000
bewegen und dann sieht das aus der Kameraperspektive
aber so aus, als würde

283
00:25:39.000 --> 00:25:44.000
sich tatsächlich das rho_magnetisch zeitlich
ändern.

284
00:25:44.000 --> 00:25:51.000
Dieser Widerspruch – wir haben eben festgehalten,
dass das eigentlich nicht

285
00:25:51.000 --> 00:25:56.000
passieren darf, es muss zeitlich konstant sein
- dieser Widerspruch tritt nur dann

286
00:25:56.000 --> 00:26:01.060
nicht auf, wenn ich eine ganz spezielle Form
der Konstanz wähle.

287
00:26:01.060 --> 00:26:07.060
Nämlich die, dass es immer und überall den
gleichen Wert hat.

288
00:26:07.060 --> 00:26:10.060
Für alle Orte und alle Zeiten gleich.

289
00:26:10.060 --> 00:26:19.060
Wenn es eine komplette Konstante ist, dann
ist es relativ logisch, dass ich die dann

290
00:26:19.060 --> 00:26:21.060
auch einfach auf 0 setzte.

291
00:26:21.060 --> 00:26:29.060
Sprich wir kommen hier dazu, dass eben diese
magnetische Ladungsdichte immer und

292
00:26:29.060 --> 00:26:31.060
überall gleich 0 ist.

293
00:26:31.060 --> 00:26:39.060
Wäre sie es mal nicht, dann wäre sie es ja
nie und dann hätten wir es auch schon

294
00:26:39.060 --> 00:26:43.060
tatsächlich beobachtet in der Form das eben
Magnetfeldlinien immer irgendwo

295
00:26:43.060 --> 00:26:48.060
entspringen oder verschwinden würden, was
Sie eben gerade nicht machen.

296
00:26:48.060 --> 00:26:54.060
Das ist die Aussage von Divergenz B gleich
0, was sich hier sofort lesen kann.

297
00:26:54.060 --> 00:27:00.020
Und Divergenz gleich 0 ist die nächste Maxwell-Gleichung,
die wir somit auch

298
00:27:00.020 --> 00:27:03.020
axiomatisch hergeleitet hätten.

299
00:27:03.020 --> 00:27:09.020
Jetzt ist aber, ich habe es eben schon gesagt,
immer noch nicht so ganz klar, was

300
00:27:09.020 --> 00:27:12.020
denn eigentlich mit diesem j^phi ist.

301
00:27:12.020 --> 00:27:17.020
Es hat die gleiche Dimension wie die elektrische
Feldstärke und wir hatten ja

302
00:27:17.020 --> 00:27:22.020
aus der Flusserhaltung eben schon diese Gleichung
dB nach dt

303
00:27:22.020 --> 00:27:23.020
plus Rotation J^phi gleich 0.

304
00:27:23.020 --> 00:27:28.020
Wenn wir das vergleichen mit der Maxwell-Gleichung
für die Induktion -

305
00:27:28.020 --> 00:27:37.020
Rotation E plus dB nach dt gleich 0 -, dann
könnte man hier vermuten, dass eben

306
00:27:37.020 --> 00:27:43.020
tatsächlich das J^phi nichts anderes ist,
als das E.

307
00:27:43.020 --> 00:27:47.020
Und ja, das ist auch so.

308
00:27:47.020 --> 00:27:54.020
Und auch das kann man, wir kürzen das hier
ab, aus dem Relativitätsprinzip auf ganz

309
00:27:54.020 --> 00:27:57.020
ähnlicher Art und Weise wie wir es bisher
schon gemacht haben folgern.

310
00:27:57.020 --> 00:28:06.080
Somit hätten wir tatsächlich unsere letzte
Maxwell-Gleichung gefunden.

311
00:28:06.080 --> 00:28:14.080
An der Stelle könnten wir auch schon Schluss
machen, machen wir aber noch nicht,

312
00:28:14.080 --> 00:28:20.080
sondern wir gehen einfach mal weiter und machen
eine Bestandsaufnahme.

313
00:28:20.080 --> 00:28:27.080
Wir haben jetzt die 4 Maxwell-Gleichungen abgeleitet
und zwar aus 1.

314
00:28:27.080 --> 00:28:29.080
Mathematik, 2.

315
00:28:29.080 --> 00:28:31.080
dem Relativitäts-Prinzip, 3.

316
00:28:31.080 --> 00:28:34.080
der Ladungserhaltung, 4.

317
00:28:34.080 --> 00:28:36.080
der Lorenzkraft und 5.

318
00:28:36.080 --> 00:28:42.080
der Erhaltung des magnetischen Flusses und
wirkliche Postulate sind ja nur

319
00:28:42.080 --> 00:28:46.080
Ladungserhaltung, Lorenzkraft und Erhaltung
des magnetischen Flusses.

320
00:28:46.080 --> 00:28:55.080
Nebenher haben wir tatsächlich auch die Kontinuitätsgleichung
gefunden aus der

321
00:28:55.080 --> 00:29:02.040
Ladungserhaltung. Und wir haben gemerkt, dass
E und B tatsächlich nicht voneinander

322
00:29:02.040 --> 00:29:05.040
unabhängige Phänomene sind.

323
00:29:05.040 --> 00:29:11.040
Wenn wir jetzt einmal zusammenzählen, was
wir haben, dann haben wir insgesamt 4

324
00:29:11.040 --> 00:29:18.040
Feldgrößen mit jeweils 3 Komponenten das
wären also 12 Feldkomponenten und wir haben

325
00:29:18.040 --> 00:29:27.040
2 vektorielle Differentialgleichungen, also
insgesamt 6 Komponenten und dann kommen

326
00:29:27.040 --> 00:29:33.040
noch die Gleichungen für die Divergenz dazu
und das sind noch mal 2, macht also

327
00:29:33.040 --> 00:29:38.040
insgesamt in komponentenweise 8 Partielle Differentialgleichungen.

328
00:29:38.040 --> 00:29:45.040
Davon sind aber nur 2 dynamische Maxwell-Gleichungen
die anderen 2

329
00:29:45.040 --> 00:29:46.040
Gleichungen, nämlich die

330
00:29:46.040 --> 00:29:48.040
Divergenz-Gleichung sind immer

331
00:29:48.040 --> 00:29:49.040
erfüllt, wenn sie zu einem

332
00:29:49.040 --> 00:29:52.040
Zeitpunkt erfüllt sind, also eher sowas wie
Nebenbedingungen.

333
00:29:52.040 --> 00:29:58.040
Wir haben also nur 6 dynamische Gleichungen
für 12 Komponenten.

334
00:29:58.040 --> 00:30:05.000
Was hier noch fehlt, sind tatsächlich die
sogenannten Materialgleichungen.

335
00:30:05.000 --> 00:30:09.000
Das sind 6 weitere Gleichungen,

336
00:30:09.000 --> 00:30:12.000
zum Beispiel für das Vakuum

337
00:30:12.000 --> 00:30:15.000
eben mal hingeschrieben.

338
00:30:15.000 --> 00:30:22.000
Das sind die bekannten Gleichungen in dieser
Form wie Sie sie kennen.

339
00:30:22.000 --> 00:30:27.000
Die 4.

340
00:30:27.000 --> 00:30:33.000
axiomatische Annahme ist jetzt tatsächlich,
dass die Material-Gleichung des Vakuums

341
00:30:33.000 --> 00:30:36.000
genau diese Form haben.

342
00:30:36.000 --> 00:30:43.000
Man kann nämlich zeigen, dass die Materialgleichungen
des Vakuums genau diese

343
00:30:43.000 --> 00:30:48.000
Form haben müssen, wenn 3 Punkte erfüllt
sind.

344
00:30:48.000 --> 00:30:49.000
1.

345
00:30:49.000 --> 00:30:57.000
Die Materialgleichung des Vakuums sind invariant
bei Translationen und Rotation.

346
00:30:57.000 --> 00:31:03.060
Nebenbemerkung: Das ist eine Eigenschaft des
Vakuums.

347
00:31:03.060 --> 00:31:05.060
2.

348
00:31:05.060 --> 00:31:16.060
Die Materie-Gleichungen des Vakuums sind lokal
und linear, das heißt Felder am

349
00:31:16.060 --> 00:31:20.060
gleichen Ort und zur gleichen Zeit werden miteinander
verknüpft.

350
00:31:20.060 --> 00:31:25.060
Lokal, linear: das ist auch eine Eigenschaft
des Vakuums.

351
00:31:25.060 --> 00:31:36.060
und 3.: Es gibt kein Durchmischen von elektrischen
und magnetischen Effekten und

352
00:31:36.060 --> 00:31:38.060
das wollen wir postulieren für das Vakuum.

353
00:31:38.060 --> 00:31:46.060
letztendlich ist das auch eine Eigenschaft
des Vakuums, weil, wo nichts ist - wo keine

354
00:31:46.060 --> 00:31:49.060
Materie ist -, wie soll da eine Durchmischung
elektrischen und magnetischen

355
00:31:49.060 --> 00:31:50.060
Effekten zustande kommen.

356
00:31:50.060 --> 00:31:59.060
Man kann dann zeigen und das mache ich jetzt
auch nicht so ausführlich, das können

357
00:31:59.060 --> 00:32:05.020
sie gegebenenfalls nachlesen, dass wenn dann
die Raumzeit noch eine flache ist,

358
00:32:05.020 --> 00:32:13.020
sich die Materialgleichungen genau in dieser
bekannten Form ergeben müssen.

359
00:32:13.020 --> 00:32:22.020
Das ist schon bemerkenswert oder auch diese
Materialgleichungen des Vakuums sind

360
00:32:22.020 --> 00:32:32.020
bemerkenswert, weil sie nicht nur die Anregungen
und die Feldstärke miteinander

361
00:32:32.020 --> 00:32:37.020
verknüpfen - das ist wunderbar -, sondern
sie verknüpfen tatsächlich auch

362
00:32:37.020 --> 00:32:44.020
elektromagnetische Felder mit der Struktur
der Raumzeit.

363
00:32:44.020 --> 00:32:51.020
Das war bei den ersten Axiomen, die wir betrachtet
haben, noch nicht der Fall,

364
00:32:51.020 --> 00:32:57.020
jetzt erst bei der vierten Axiom, bekommen
wir tatsächlich eine Verknüpfung zu

365
00:32:57.020 --> 00:33:03.080
Raumzeit. Das heißt hier wird es extrem fundamental.

366
00:33:03.080 --> 00:33:12.080
Und tatsächlich gibt es starke Hinweise darauf,
dass die Propagation des

367
00:33:12.080 --> 00:33:20.080
elektromagnetischen Feldes die metrische Struktur
der Raumzeit bestimmt und eben

368
00:33:20.080 --> 00:33:24.080
nicht umgekehrt - wie man jetzt vielleicht
aus der Darstellung die ich gewählt habe,

369
00:33:24.080 --> 00:33:30.080
hätte schließen können - , das eben die
elektromagnetischen

370
00:33:30.080 --> 00:33:33.080
Eigenschaften aus der Raumzeit folgen.

371
00:33:33.080 --> 00:33:38.080
Dazu habe ich Ihnen, wenn Sie das wirklich
interessiert, noch mal zwei Quellen

372
00:33:38.080 --> 00:33:46.080
angegeben. Tatsächlich ist es aber so, dass
das ganz erheblich über das hinaus gehen

373
00:33:46.080 --> 00:33:51.080
würde, was wir im Verlauf des weiteren Kurses
machen werden.

374
00:33:51.080 --> 00:34:03.040
Ich hoffe Ihnen ist klar geworden, dass man
tatsächlich aus verhältnismäßig einfachen

375
00:34:03.040 --> 00:34:11.040
Annahmen und mit verhältnismäßig wenigen
Schritten die Maxwell-Gleichungen und auch

376
00:34:11.040 --> 00:34:15.040
die Materialgleichungen und nebenher auch die
Kontinuitätsgleichung für

377
00:34:15.040 --> 00:34:19.040
die Ladung ableiten kann.

378
00:34:19.040 --> 00:34:28.040
Das heißt, das sind Gleichungen, die eben
tatsächlich nicht irgendwie vollkommen in

379
00:34:28.040 --> 00:34:34.040
der Luft hängen, sondern sie haben eine sehr
gute und solide Begründung.

380
00:34:34.040 --> 00:34:44.040
An dieser Stelle möchte ich mich bei Ihnen
für Ihre Aufmerksamkeit bedanken.

381
00:34:44.040 --> 00:34:51.040
Sie finden weitere Informationen und auch den
Kontakt zu mir auf der Webseite, die

382
00:34:51.040 --> 00:34:55.040
ich Ihnen hier auch noch mal aufgeschrieben
habe.

383
00:34:55.040 --> 00:34:59.040
Besten Dank und bis zum nächsten Mal.