Guten Tag meine Damen und Herren.
Ich darf Sie ganz herzlich begrüßen zu einem weiteren Beitrag in der Reihe
Theoretische Elektrotechnik.
Es wird heute gehen um das Vorwissen.
Wir wollen einfach einmal darauf schauen, was denn insbesondere an mathematisches
Vorwissen notwendig ist.
Das ganze wird kein Repetitorium werden, aber manche Sachen werden Ihnen vielleicht,
wenn Sie es dann sehen, auch wieder einfallen.
Mein Name ist Hans Georg Krauthäuser, Inhaber der Professur für
Theoretische Elektrotechnik und Elektromagnetische Verträglichkeit an der TU Dresden.
Gut. Jetzt würden wir direkt schon einsteigen in die Präsentation.
Es geht in der Theoretischen Elektrotechnik so wie wir sie definieren, um die Maxwell-Gleichung.
Und die Maxwell-Gleichung, die habe ich Ihnen hier
noch einmal dargestellt. Es sind 4 Gleichungen.
Wir haben das Induktionsgesetz.
Wir haben das Ampèrische Durchflutungsgesetz erweitert um den Term
den Maxwell dazu gebracht hat, die Verschiebungsstromdichte.
Wir haben die Gesetzmäßigkeit der Quellenfreiheit des Magnetfeldes und wir
haben das Coulomb-Gesetz, wo wir also die Quellen des elektrischen Feldes eingeführt haben.
Wenn wir uns diese Grundgleichungen anschauen, dann wird schon offensichtlich,
dass hier in einigen Bereichen eben Wissen notwendig ist und ganz offensichtlich
müssen wir wissen, was denn Felder sind.
Wir müssen mit den Feldern umgehen können, einfach weil die wesentlichen Größen,
elektrische und magnetische Größen, die wir hier betrachten, Feldgrößen sind.
Wenn wir uns mit Feldern beschäftigen, dann sollten wir uns mit skalar- als auch mit
vektorwertigen Felder beschäftigen und auch mit reellen und komplexen Feldern.
Dann sind das hier partielle Differenzialgleichungen, das heißt, auch
sofort offensichtlich, dass Sie mit den Differenzialoperatoren auf den Feldern
umgehen können müssen.
Die Rotation und die Divergenz, aber wir werden dann Relativ schnell sehen, dass
auch der Gradient eine Rolle spielt, so dass wir dann schon die drei wesentlichen
Differenzialoperationen hier benannt hätten.
Es sind partielle Differenzialgleichungen und wenn die Grundgleichung partielle
Differenzialgleichungen sind, dann ist es ganz offensichtlich das wir ein gewisses
Wissen an Differenzialgleichungen und auf den Bezug der Lösungsmethoden haben müssen.
Vieles von dem werden wir aber im Zuge des Kurses tatsächlich auch noch einmal
Detailliert betrachten.
Die Formulierung wie sie hier oben angegeben ist, das ist ja eine
differenzielle Formulierung, das heißt, die gibt Ihnen an, an einem bestimmten Ort
instantan zu dieser Zeit, wie sind da die Verhältnisse und Verknüpfungen zueinander.
Häufig ist es aber so, dass wir zu integralen Beschreibungen übergehen wollen
und müssen und bei diesem Übergang von einer differenziellen und lokalen zu
integralen Beschreibung, da werden wir natürlich auch zurück greifen müssen auf
die Integralrechnung, seien es Linien-, Flächen- oder auch Volumenintegrale.
Wir werden das auch in den jeweils problemangepassten Koordinatensystem
machen, so dass also das Wissen nicht nur über die Kartesischen-Koordinatensysteme,
sondern eben auch über zylindrische Koordinaten und sphärisch Koordinaten in 3D
auf jeden Fall notwendig sein werden.
Dazwischen muss auch umgerechnet werden, an der Stelle kommt dann die Metrik ins Spiel
oder eben der metrische Tensor und wir greifen natürlich zurück auf Integralsätze,
insbesondere Integralsatz von Gauss und den Integralsatz von Stokes, Kronecker- Delta
wird eine Rolle spielen, insbesondere auch die Delta-Funktion.
Ich nenne die hier Funktion, viele von Ihnen werden es wissen, es ist streng
genommen keine Funktion, sondern eine Disbrution, aber bei dem was wir hier
machen, kommt es auf diese Unterscheidung nicht wirklich an.
Gehen wir direkt zu den Differenzialoperatoren über
und wir fangen hier an mit der Divergenz.
Die Divergenz ist eine Differenzialoperation die angewendet wird
auf ein Vektorfeld und das was da raus kommt, ist etwas was wir auch gerne die
Quellendichte nennen und die Quellendichte ist ein Skalarfeld.
Die Divergenz eines Vektorfeldes ergibt also ein Skalarfeld.
Sie wissen wahrscheinlich noch, wie Sie das in kartesischen Koordinaten ausrechnen können.
Wir benutzen für die Divergenz den Operator div sehr häufig finden Sie das
auch im Nabla-Operator geschrieben, dann in Form eines Skalarproduktes, also Nabla
skalar multipliziert mit dem Feld F.
Und wie rechnen wir das aus in Kartesischen Koordinaten?
Wir rechnen über diese Summe wobei d/d x_i hier eben die partielle Ableitung der i-ten
Koordinate ist und das ist einfach die Form wie wir eben auch ein
Skalarprodukt schreiben würden.
Deswegen ist es hier auch sehr naheliegend mit diesem Nabla-Operator zu arbeiten.
Häufig werden Sie das auch abgekürzt finden, hin und wieder werden wir auch
diese Schreibweise verwenden und eben über die Einsteinsche Summenkonvention das
einfach schreiben als d_i F_i und das d_i bezeichnet hier eben auch wieder abgekürzt,
die partielle Ableitung nach der i-ten Komponente.
Und das hier sind kartesische Koordinaten.
Wir listen das hier nicht auf für alle möglichen Koordinatensysteme - das können
Sie auch in Formelsammlungen nachschauen.
Ganz Sinnvoll ist es aber, wenn Sie sich das noch einmal vergegenwärtigen, dass wir
das auch koordinatenfrei aufschreiben können und koordinatenfrei ergibt sich das
eben als ein Limes über das Volumen V gegen 0 und dann steht hier im Wesentlichen das
Oberflächenintegral des Feldes über die geschlossene Oberfläche dieses Volumens.
n ist der Normalenvektor der Oberfläche des Volumens.
Konventionsmäßig immer nach außen gerichtet.
Und das Ganze wird noch normiert mit dem Faktor 1 durch V.
Die Rotation, die wir uns als nächstes vergegenwärtigen, wird wiederum ebenfalls
auf ein Vektorfeld angewendet, gibt aber nun als Resultat ebenfalls ein Vektorfeld.
Und gerne wird die Rotation des Vektorfeldes als die Wirbelstärke dieses
Feldes bezeichnet. Auch hier zunächst mal wieder in Kartesischen Koordinaten das
Ganze ausgerechnet oder dargestellt.
rot F ist die übliche Abkürzung die wir wählen werden.
Auch hier wird man manchmal Nabla X F verwenden.
X ist hier tatsächlich im Sinne eines Kreuzproduktes zu verstehen, wenn Nabla
gleich der Vektor (d/dx, d/dy, d/dz) ist, dann rechnen Sie eben das jetzt hier
wirklich nach den Regeln des Kreuzpunktes aus und das ist genau das, was hier hinten
noch mal ausgeschrieben steht.
Wenn Sie diese Summen jetzt nacheinander durchlaufen, dann bekommen Sie genau den
Ausdruck, den Sie auch entsprechend des Kreuzproduktes bekommen würden.
Zur Erinnerung: dieses Epsilon i, j, k was hier auftaucht, das ist der total
antisymmetrische Einheitstensor dritter Stufe oder gerne auch das
Levi-Cevita-Symbol genannt. Auch hier können wir wieder eine kompakte Form
aufschreiben, wenn wir wieder die Einsteinsche Summenkonvention benutzen und
auch die partielle Ableitung etwas kompakter schreiben, hätten wir einfach
diese kompaktere Form Epsilon i, j, k Einheitsvektor in i-Richtung partielle
Ableitung bezüglich J und dann eben angewendet auf die k-te Feldkomponente.
Noch einmal ganz kurz: Levi-Cevita oder total antisymmetrische Einheitssensor
dritter Stufe: Ganz einfach im Prinzip definiert, das ist eine Matrix oder ein
drei dimensionales Gebilde - ein Tensor - der einfach den Wert 1 hat, wenn i, j, k
zyklisch sind, zum Beispiel 1, 2, 3; der Wert ist -1, wenn i, j, k antizyklisch
sind, also zum Beispiel 3, 2, 1 und in allen anderen Fällen ist der Wert von
Epsilon i, j, k gleich 0.
Auch hier gibt es eine koordinatenfreie Definition auch wieder als Limes über ein
Volumen gegen 0 und das entscheidende Integral, was jetzt hier genommen wird,
wäre also n X F, n ist wieder der Normalenvektor an der Oberfläche, das
Integral erstreckt sich wieder über die geschlossene Oberfläche dieses Volumens und
auch hier findet wieder eine Normierung mit dem Volumen statt.
Das sind ganz wesentliche Operatoren, die wir hier immer wieder brauchen werden und
ja es ist festzustellen, dass doch viele auch immer wieder gewisse Probleme damit
haben und sich fragen „ja was ist denn das?“.
Insbesondere die Anschauung ist manchmal das Problem.
Ausrechnen kann man das dann, aber die Anschauung ist nicht so ganz da.
Da muss man dann sagen, da gibt es ganz hervorragende Videos von Grant Sanderson
dessen Kanal ich hier unten jetzt auch mal verlinkt habe und es gibt insbesondere auch
ein Video zu Divergenz und Rotation, wo wir gleich auch mal ganz kurz reinschauen werden.
Das Ganze ist nicht von der formalen Seite aufbereitet, sondern kommt
tatsächlich von der visuellen Komponente her.
Und Grant Sanderson verwendet hier ein Animation Package – manim en Python
Package-, dass ich auch noch mal verlinkt habe, weil es eben tatsächlich auch sehr
schön und auch in der Anwendung sehr schön ist.
Also schauen wir einmal ganz kurz rein, hier wirklich in das Video über „Divergenz und Rotation"
damit Sie einen Eindruck bekommen.
Ich habe den Ton ein klein Bisschen runter genommen des Videos, Sie können sich das
Video auch auf YouTube in voller Lautstärke anschauen.
Aber das Entscheidende ist, was wir hier sehen, ist die wirklich richtig gute
Animation und das ist das was eben häufig tatsächlich fehlt, wenn man es nur von der
formalen Seite einführt.
Schauen Sie ruhig auch einmal die anderen Videos an die Grant Sanderson
auf seinem Kanal hat.
Ich bin wirklich sehr angetan und halte das für eine außerordentlich gute Ergänzung zu
dem, was wir hier machen.
Gut, dass soll jetzt hier reichen, schalten das wieder aus und gehen jetzt weiter auf
die nächste Folie und werden den dritten sehr wichtigen Differenzialoperator
einführen - den Gradienten.
Der Gradient tritt in den Maxwell-Gleichungen unmittelbar nicht auf, aber sehr schnell, wenn wir die Potentiale einführen
- spätestens, wenn wir auf den Gradienten zurückgreifen.
Der Gradient wird angewendet auf ein Skalarfeld und macht daraus dann ein
Vektorfeld - die Ausgabe ist dann ein Vektorfeld.
Und das Gradientenfeld ist das Richtungsfeld des stärksten Anstieges.
Und das ist - glaube ich - etwas, was man sich relativ gut auch vorstellen kann.
Deshalb brauchen wir hier vielleicht tatsächlich kein Video.
Ich werde Ihnen aber gleich noch eine Quelle angeben, wo Sie trotzdem tatsächlich
über Zusatzmaterial noch einmal schauen können.
Zunächst in kartesischen Koordinaten: Wir werden häufig tatsächlich die
ausgeschriebenen Abkürzungen verwendet, Gradient von F, wir können das auch
schreiben als Nabla F, also Nabla angewendet auf F.
Darunter verstehen wir dann einfach, dass wir die Funktion - das Feld - eben nach
einander nach den Komponenten ableiten - partiell - und dann eben diese Beiträge
wieder gewichtet mit den Einheitsvektoren in die Richtung aufsummieren, so dass wir
also insgesamt ein Vektorfeld bekommen.
Abgekürzt wieder mit der Einsteinischen Summenkonvention wäre das dann
einfach e_i d_i F. Auch hier sei erwähnt, dass natürlich wieder eine koordinatenfreie
Darstellung gibt, auch wieder über den Limes eines Volumens gegen 0, auch wieder
mit einer Normung auf das Volumen 1 durch V und dann ist das einfach das
Oberflächenintegral über die Oberfläche des Volumen F mal Normalenvektor dS, also
relativ einfach definiert.
Ich habe schon gesagt, auch hier gibt es tatsächlich, finde ich, gute Quellen.
Ich verweise hier mal auf die „Khan Academy“ - Webadresse ist hier angegeben.
Auch hier finde Sie ein Video, direkt zum Gradienten, es ist aber lohnenswert bei der
„Khan Academy“ vielleicht auch mal andere Sachen anzuschauen.
Im Gegensatz zu YouTube werden hier nicht nur Videos dargestellt, sondern es gibt zu
vielen Themen tatsächlich dann auch echte Kurse mit Übungen, mit Selbsttest-Übungen,
wo man sich durchklicken kann, sicherlich auch für viele Sachen eine gute Ergänzung
um schnell etwas aufzuarbeiten, was man nicht mehr ganz so präsent hat.
Gut, das waren die Differenzialoperatoren auf die wir immer wieder zurückgreifen werden.
Ich hatte anfangs schon gesagt, natürlich brauchen wir das Ganze auch in
verschiedenen Koordinatensystemen.
Das liegt einfach daran, dass eben nicht immer die kartesischen Koordinaten, die
problemangepassten Koordinaten sind und Probleme lösen sich am Einfachsten dann,
wenn man ein gutes, ein problemangepasstes Koordinatensystem gefunden hat.
Häufig kommt man eben hier neben den kartesischen Koordinaten, die Sie alle kennen,
mit zylindrischen oder mit sphärischen Koordinaten weiter.
Das Ganze natürlich in 2 D oder auch in 3 D.
Die höheren Dimensionen brauchen wir typischerweise nicht.
Sie müssen wissen, wie man die Komponenten umrechnet.
Das führt Sie dann sehr schnell auf den Begriff der Jacobi-Matrix, die Sie dann
auch brauchen um differenziale oder integrale Elemente umzurechnen.
Das heißt um div, rot, grad in verschiedenen Koordinatensystemen
darzustellen, um aber auch die Volumenelemente, die Flächenelemente oder
die Linienelemente in verschiedenen Koordinaten darzustellen.
Dabei spielt dann eben der metrische Tensor, die Metrik, eine ganz entscheidende
Rolle, die Sie eben aus der Jacobi-Matrix ausrechnen oder mit Hilfe der Jacobi-Matrix
ausrechnen. Integralsätze ist etwas, was man eigentlich ständig braucht.
Wenn man die Ableitungen hat und entsprechende Umformschritte macht, brauch
man eigentlich ständig insbesondere den Satz von Gauß und den Satz von Stokes.
Fangen wir mit dem Satz von Gauß an.
Der Satz von Gauß besagt, dass Oberflächenintegral eines Vektorfeldes F
über eine geschlossene Fläche O von V, Oberfläche von V, ist gleich dem
Volumenintegral der Divergenz von F erstreckt über das von der Fläche O von V
eingeschlossen Volumen oder eben formal mathematisch ausgedrückt: Volumenintegral
Divergenz F dV ist gleich Oberflächenintegral F mal n dS.
n ist hier wiederum der Normalenvektor.
Das geht natürlich auch im Zweidimensionalen, hingeschrieben haben wir
das jetzt hier für eine dreidimensionales Volumen und Oberfläche.
Das sind Begriffe die man eben dreidimensional ganz nochmal verwendet,
aber Formal geht es auch in Zweidimensionalen, dann ist das Volumen
eine Fläche und das Oberflächenintegral wäre dann eben
das geschlossene Wegintegral.
Der Satz von Stokes ist ähnlich einfach und dürfte Ihnen auch bekannt sein, ja wie
gesagt im Sinne einer Wiederholung eines kurzen Aufrufens der Sätze ist hier
vielleicht ganz gut, wenn wir es noch einmal durchgehen.
Das Kurven- oder Linienintegral eines Vektorfeldes F Längs einer einfach
geschlossenen Kurve C von A, Kontur von A, ist gleich dem Oberflächenintegral der
Rotation von F über eine beliebige Fläche A die durch die Kurve C berandet wird.
Oder wiederum etwas formal ausgedrückt: Das Wegeintegral F ds um die Kontur der Fläche
A ist gleich dem Flächenintegral Rotation F dS.
Und das können wir natürlich auch wieder schreiben als Integral Rotation F skalar
multipliziert mit dem normalen Vektor n dS.
Etwas, das vielleicht ein bisschen mehr in Vergessenheit geraten ist - was für Sie
aber auch nicht neu ist -ist die Delta- Funktion.
Besser gesagt eigentlich Delta-Distribution, weil es gibt keinen
geschlossenen Funktionsausdruck für das, was wir jetzt hier einführen.
Aber das sehen wir gleich noch.
Kommen wir aber zuerst noch zur Motivation.
Warum brauchen wir eigentlich die Delta-Funktion, die Delta-Distribution?
Was machen wir damit? Warum ist sie von so großer Bedeutung?
Dazu ein Beispiel: Wir kennen alle das Coulomb-Feld, das ja für eine Punktladung
im Ursprung genauso aussieht, wie ich Ihnen das hier so dargestellt habe.
Das heißt, das Feld E ist gleich einer Normierung - 1 durch 4 pi eplsilon_0 -
Q ist die Ladung im Ursprung und dann fällt das eben 1 durch r^2 ab und ist immer in
Richtung des Einheitsvektors in radialer Richtung gerichtet.
Also eine einfache Größe, die Sie aus den Grundlagen der Elektrotechnik auf jeden Fall schon kennen.
Wenn wir jetzt die Divergenz - die Quellstärke - einer solchen Punktladung
errechnen wöllten, dann erwarten wir ja, dass die außerhalb des Ursprunges, da wo
keine Quellen sind, gleich 0 ist und am Ursprung, da wo die Quelle ist, da sollte
die Quellstärke tatsächlich auch einen Wert ergeben, einen endlichen Wert ergeben.
Und wir haben eben schon gesagt: die Divergenz ist das, was die Quellstärke ausrechnet.
Und wenn wir jetzt die ganzen Konstanten, die wir hier oben noch stehen
haben, mal weglassen, dann beschränkt sich die Aufgaben ja darauf, dass wir die
Divergenz berechnen von 1 durch r^2 Einheitsvektor in Richtung R.
Das Problem ist kugelsymmetrisch.
Also würden wir hier sicherlich auch hingehen und den Divergenz-Operator direkt
in Kugelkoordinaten anwenden.
Das suchen wir uns aus den Formelsammlungen,
wenn wir es nicht mehr wissen.
Klar ist, das werden natürlich auch Ableitungen nach d/d phi und d/d theta auftauchen,
die aber hier kein Rolle spielen, weil wir hier ja gar keine
Abhängigkeit von phi und theta haben.
Das heißt, es bleibt hier wirklich nur übrig, die Ableitung in radialer Richtung
dr und wenn wir uns da aus der Formelsammlung und das anschauen, wie das
aussieht, dann sieht das eben so aus, wie es hier aufgeschrieben ist: 1 durch r^2
Ableitung in r Richtung und dann r^2 mal die Funktion die wir ableiten wollen und
das ist 1 durch r^2 e_r.
Das sieht zunächst mal gar nicht so kompliziert aus, hat aber an der Stelle, an
der wir das betrachten wollen, nämlich am Ursprung, genau ein kleines Problem: r^2
durch r^2 an dieser Stelle können wir natürlich heraus kürzen – das ist einfach 1
- so dass übrig bleibt: die partielle Ableitung in radialer Richtung des
Einheitsvektors in radialer Richtung.
Außerhalb des Ursprunges ist das überhaupt kein Problem: Sie haben den Einheitsvektor,
der zeigt in radialer Richtung und wenn Sie die Veränderung in der gleichen Richtung
sich anschauen, dann stellen Sie fest, dass der Einheitsvektor sich in dieser Richtung
überhaupt nicht verändert.
Das heißt, außerhalb des Ursprunges ist das einfach 0, keine Veränderung heißt
Ableitung ist 0 und das ist ja genau das was wir eigentlich hier auch haben wollen.
Wenn wir aber den Ursprung betrachten und am Ursprung müssen Sie sich jetzt
vorstellen, wie sieht denn der Einheitsvektor im Ursprung aus?
Wenn Sie hier den Ursprung haben an dieser Stelle, dann wird der Einheitsvektor ja -
wenn Sie sich vorstellen infinitisimal bewegen Sie sich vom Ursprung weg - dann
zeigt er mal in diese Richtung und mal in diese Richtung und das ist genau das
Dilemma, was Sie an dieser Stelle haben.
Wenn Sie jetzt wirklich die Ableitung ausrechnen wollen, dann ist das im Prinzip
wirklich unbestimmt.
Sie wissen nicht genau, wie der Einheitsvektor denn aussieht, selbst bei
einer infinitisimalen Verschiebungen aus dem Ursprung heraus.
Das heißt, Sie haben an der Stelle - für den Ursprung - tatsächlich ein Problem.
Und wegen solcher Art von Problemen, die nicht nur wie jetzt beim Coulomb Potential
auftauchen, sondern die immer wieder auch bei ähnlichen Sachen auftauchen.
Genau wegen solchen Problemen führen wir tatsächlich die Delta-Funktion - die
Delta-Distribution - ein.
Wir definieren sie jetzt einfach einmal über ihre Eigenschaften die sie hat.
Und das sind zwei Stück: Wir sagen einfach nur, dass soll eine Funktion - eine
Disputation - sein, für die gelten soll, dass sie für x ungleich 0 verschwindet,
also delta(x)=0 für x ungleich 0 und dass, wenn ich das Integral dieser Funktion bilde
von -unendlich bis +unendlich, dass es dann normiert sein sollte.
Das heißt, dieses Integral ist einfach 1.
Die Fläche unter der Kurve -unendlich bis +unendlich ist 1.
Solche Funktionen existieren eben tätsächlich nur im Grenzwert anderer Funktion.
Das ist genau der Punkt, warum es selber keine Funktion ist.
Sondern wir können das eigentlich nur definieren als Grenzwert von n gegen
unendlich von Funktionen f_n von x, die eben normiert sind und für die dann eben
einfach dieser Wert f_n(x) für n gegen unendlich gegen 0 strebt außerhalb des
Ursprungs. Solche Reihen von Funktionen gibt es.
Man kann das beispielsweise wie eben hier so abschnittsweise definieren.
Sie können sich leicht davon überzeugen, dass diese Funktionsreihe genau diese
Eigenschaft hat, die ich oben gefordert habe.
Das muss aber nicht so eine geteilte Definition sein, sondern wir können das
hier mit so einer gaußartigen Funktion machen oder auch über so eine Sinus x durch
x^2 Reihe funktioniert das auch.
Das sind drei Beispiele wie Sie Funktionenreihen ansetzten können, um dann
eben im Grenzwert gegen unendlich zur Deltafunktion zu kommen.
Es gibt wichtige Beziehungen für die Deltafunktion, die wir hier auch ganz kurz
aufführen wollen, die wir ganz kurz wiederholen wollen.
Aus der Definition folgt ziemlich unmittelbar, eine wichtige Eigenschaft.
Wenn Sie über eine Funktion integrieren und im Integral dann eben als Faktor auch noch
die Deltafunktion stehen haben, dann kommt da einfach der Funktionswert am Ursprung
bei X gleich 0 raus.
Das können Sie über die Definition der Deltafunktion und über die
Normierungseigenschaft leicht überprüfen.
Für x gleich 0 ist das hier einfach nur eine 0 multiplizieren, deshalb spielen die
anderen Funktionswerte keine Rolle und über die Normierung bleibt es dann dabei, dass
das einfach f(0) ist.
Das ist eine ganz, ganz wesentliche Eigenschaft, die Sie tatsächlich auch noch
verwenden können, wenn Sie das Ganze jetzt verschieben.
Das heißt, wenn Sie jetzt nicht Delta von x betrachten, sondern wenn Sie betrachten
Delta von x minus a, dann können Sie sich ganz leicht auch wieder überlegen, dass
eben alle Werte, außer x gleich a, hier keine Rolle spielen, weil dann eben Delta
von x minus a gleich 0 ist.
Und die Normierung bleibt natürlich die gleiche, auch wenn Sie das auf der Achse
etwas verschieben, so dass hier einfach dann f von a herauskommt.
Wichtig, insbesondere für physikalischen Problemen, ist auch eine
Skalierungseigenschaft. Sie können sich ja vorstellen, dass das x was wir betrachten,
nicht immer eine dimensionslose Größe sein muss, sondern manchmal ist sie auch
dimensionsbehaftete Größe - könnte zum Beispiel eine Länge sein.
Und dann ist es eben ganz gut zu wissen, wie sich die Deltafunktion verhält, wenn
man hier eben mit einem skalaren k multipliziert.
Das k könnte jetzt beispielsweise dann eben die Einheit sein.
Und dann gilt diese Beziehung, die ich Ihnen hier aufgeschrieben habe, 1 durch k
Betrag Delta von x.
Natürlich können wir die Delta-Funktion auch auf dreidimensionale Gegebenheiten verallgemeinern:
Das ist hier unten aufgeschrieben.
Wenn also r gleich x e_z + y e_y + z e_z ist, dann können wir Delta von r definieren
als das Produkt dreier Deltafunktionen, Delta von x mal Delta von y mal Delta von z.
Und dann gilt genauso wieder die Definition: wenn eine der Größen x, y oder
z ungleich Null ist, dann ergibt dieses Gesamtprodukt 0 und die Normierung gilt
natürlich auch wieder entsprechend - das können Sie sich leicht überlegen -, so dass
wir diese Delta-Distribution auch im dreidimensionalen oder in beliebigen
Dimensionen verwenden können.
Ja, jetzt können wir tatsächlich ein wenig rumrechnen und den Gaußschen Integralsatz
und die Delta-Funktion verwenden, um sich tatsächlich diesem Problem - was ist denn
die Divergenz 1 durch r^2 e_r - noch einmal anzunähern.
Und um das zu machen, bilden wir jetzt einfach ein Volumenintegral
über Divergenz 1 durch r^2 e_r.
Und wir sind ja vollkommen frei, welche Oberfläche wir nehmen.
Und es ist naheliegend, wenn wir ein solches Problem haben, das ja
offensichtlich ein sphärisches Problem ist, dass wir dann auch ein spezielles Volumen
nehmen, weil wir uns damit das Leben etwas einfacher machen können.
Das Volumen, das wir hier wählen, ist einfach eine Kugel vom Radius R also K(R)
soll jetzt also einfach eine Kugel um den Ursprung mit Radius R sein.
Dann sagt uns der Satz von Gauß, dass wir dieses Volumenintegral überführen können in
ein Oberflächenintegral über die Oberfläche der Kugel und dabei wird dann die
Divergenz einfach weggelassen.
Und hier hinten steht natürlich e_r mal dem Flächenelement.
Und dieses Oberflächenintegral erstreckt sich ja über die Oberfläche der Kugel, das
hat offensichtlich nur Beiträge bei r = R.
Da sehen wir auch, warum das so günstig war, eine Kugel zu nehmen.
Das macht das Ganze wesentlich einfacher.
Und dieses Oberflächenelement, das können wir natürlich auch schreiben als r^2, sin
theta, d theta d phi.
Und es ist immer nach Außen gerichtet also mal e_r.
Das ist ganz einfach das Flächenelement dieser Kugel mit Radius R um den Ursprung.
Das können wir einsetzen, das macht uns das Ganze jetzt schön einfach: Wir haben dann
offensichtlich eine Integration über d phi - die läuft von 0 bis 2 pi.
Der Ausdruck, den wir unter dem Integral stehen haben, ist aber gar nicht von phi
abhängig, so dass uns dieses Integral d phi einfach nur einen Faktor 2 pi liefert.
Das geht ja von 0 bis 2 pi und das Integral d phi von 0 bis 2 pi ist eben 2 pi und es
bleibt dann übrig natürlich die Integration d theta - die geht über den Bereich von 0 bis pi.
Und ansonsten ist hier einfach eingesetzt, das Flächenintegral und wir haben noch
sofort ausgerechnet, dass e_r mal e_r einfach gleich 1 ist und das hier in diesem
Ausdruck überhaupt nicht mehr auftaucht.
Ja, und hier steht wieder ein r^2 durch r^2 - das ist eine 1-, so dass letztendlich
einfach nur übrig bleibt das Integral über sin theta d theta.
Und das ist auch nicht schwierig: das Integral 0 bis pi sin theta d theta ist 2.
Und das mit den 2 pi die wir schon haben, gibt einfach einen Faktor 4 pi.
Das verleitet uns jetzt dazu, doch einfach den Ausdruck, den wir hier für die
Divergenz stehen haben, zu identifizieren mit 4 pi delta von r.
Weil, wenn wir das machen, stellen Sie sich vor, wir würden hier oben 4 pi delta von r
einsetzen, da geht das 4 pi natürlich nach vorne.
Und das delta von r über diese Kugel das liefert uns ja außerhalb des Ursprunges
überhaupt keine Beiträge mehr und ist aber insgesamt normiert.
Natürlich können wir die Kugel dann bis unendliche gehen lassen, was den Wert nicht verändert,
weil das was unter dem Integral steht, ja überhaupt keine Beiträge mehr hat, ungleich von 0.
Und dann steht von beiden Seiten 4 pi gleich 4 pi, was offensichtlich richtig ist.
Und damit hätten wir gezeigt, dass diese Identität gilt.
Das heißt, es ist uns hier gelungen, diese Divergenz auszurechnen, insbesondere eben
auch für den Ursprung auszurechnen.
Und das gibt einen Wert der mit der Delta-Funktion verknüpft ist.
Das ist aber auch gar nicht so überraschend und kommt letztendlich daher, dass das
Konstrukt, was wir ursprünglich gewählt haben, nämlich zu sagen, wir haben hier
eine Punktladung im Ursprung, das ist ja auch schon was sehr, sehr künstliches.
Tatsächlich gibt es ja keine Punktladung, jede Ladung wird eine gewisse Ausdehnung haben.
Und wenn man mit einer endlichen Ausdehnung rechnen würde, dann hätten wir
tatsächlich dieses Problem am Ursprung nicht.
Das heißt, dass wir hier die Delta-Funktion hinein bekommen in den Ausdruck für die
Divergenz ist einerseits ganz schön, wenn wir auf diese Art und Weise die Verknüpfung
der Divergenz und der Delta-Funktion an der Stelle bekommen haben.
Und auf der anderen Seite braucht uns das jetzt aber nicht großartig zu verwirren,
weil dass, was wir angesetzt haben, ist ja auch etwas ja sehr – ja, künstliches will
ich vielleicht gar nicht sagen - modellhaftes.
Und dass dann eben hier etwas merkwürdige Lösung raus kommt für die Quellstärke am
Ursprung ist eigentlich nicht weiter verwunderlich.
Wir können dann aber natürlich auch, wenn wir schon an diesem Punkt angekommen sind,
auch einfach weiter rechnen.
Und etwas, was man sehr einfach ausrechnen kann, ist tatsächlich der Gradient 1/r.
Schreiben Sie sich einfach mal hin, dann ist es relativ schnell klar.
Hier gibt es natürlich keinen phi und keinen theta Anteil, so dass hier einfach
stehen bleibt: e_r d nach d r von 1/r.
Und das ist ganz offensichtlich -1/r^2 e_r.
Und das ist bis auf das Vorzeichen genau der Term, den wir hier unter der Divergenz
stehen haben - von dem wir alsovschon wissen, wie groß die Divergenz ist.
Und wenn wir das zusammenführen und jetzt einfach diesen Ausdruck hier oben einsetzen
würden, bekommen wir eine wichtige Beziehung für den Laplace-Operator, den wir
bei dieser Gelegenheit auch einführen.
Der Laplace-Operator ist nichts anderes als Divergenz angewendet auf das
Gradientenfeld. Er wird auch sehr häufig mit einem solchen Delta geschrieben, mit
dem Laplace-Operator. Und wir sehen dann nach Einsetzen unmittelbar: Laplace 1/r -
was ja nichts anderes ist, als Divergenz Gradient von 1/r - und das ist gleich -4 pi delta von (r).
Das Minuszeichen ist genau das Minus, was hier schon steht, also nicht wundern,
wenn Sie das Einsetzen hier oben in den Divergenz-Term oder das Argument der
Divergenz, dann taucht das Minus-Zeichen eben auf der anderen
Seite auf, überhaupt kein Problem.
Ja und nun sind wir schon wieder fast am Ende der Bestandsaufnahme für das
Vorwissen, das wir hier brauchen.
Und ich möchte das Ganze hier nicht beenden, ohne tatsächlich noch einmal auf
die Zerlegung von Vektorfeldern zu kommen.
Und zwar auf das sogenannte Helmholtz-Theorem - häufig heißt das auch
das Fundamentaltheorem der Vektoranalysis und ist wirklich extrem wichtig und liefert
uns mathematischen Hintergrund für vieles von dem was wir machen.
Das Helmholtz-Theorem liefert zunächst mal eine ganz einfache Aussage.
Und zwar ist es so, wenn wir ein ziemlich beliebiges Vektorfeld f haben.
Und ziemlich beliebig: wir wollen hier annehmen das es tatsächlich stärker als 1/r
gegen unendlich abfällt auf 0.
Wir sehen nachher noch, wofür wir das tatsächlich brauchen.
Das ist aber eine Bedingung, die für tatsächlich relevante Probleme eigentlich
immer erfüllt - also keine strenge Einschränkung.
Und wir können davon ausgehen, dass praktisch jedes Vektorfeld, was uns in
relevanten Problemen begegnen wird, genau diese Eigenschaft erfüllt.
Also, ein Vektorfeld, das ausreichend stark abfällt für r gegen unendlich, lässt sich
zerlegen in einen rotationsfreien Anteil a und in einen divergenzfreien Anteil b.
Das heißt, wir können F(r) schreiben als a(r) plus b(r), wobei eben die Rotation von
a verschwindet und die Divergenz von b verschwindet.
Des Weiteren nehmen wir zur Kenntnis, dass Gradientenfelder rotationsfrei sind.
Das heißt, es gilt immer Rotation Gradient phi gleich 0 für ein beliebiges skalares Feld phi.
Und wir nehmen zur Kenntnis, dass Rotationsfelder divergenzfrei sind.
Das heißt, es gilt das die Divergenz von Rotation A für ein beliebiges Vektorfeld A
ebenfalls gleich 0 ist.
Das ist letztendlich die Konstruktionsanleitung dafür, wie wir denn jetzt Felder a und b
finden können, so dass eben Rotation von a verschwindet und Divergenz b verschwindet.
Ja, das wird man jetzt so machen, dass a eben gerade ein
Gradientenfeld ist und b eben grade ein Rotationsfeld ist.
Das können wir uns hinschreiben.
Hiermit folgt also die Darstellung mit einem skalaren Potential phi und einem
Vektorpotential A, dass F(r) - ein beliebiges Vektorfeld, das nur ausreichend
stark gegen unendlich abfällt - geschrieben werden kann als - Gradient phi + Rotation
A also - Gradient eines Skalarpotentials + Rotation eines Vektorpotentials.
Und hierbei wundern Sie sich im Moment vielleicht über das Minus das hier auftaucht.
Das ist eine reine Konvention - wirklich nicht von Bedeutung.
Wir schreiben es nur so hin, damit es später nicht zu Verwirrungen kommt.
Sie könnten das Minuszeichen ja genauso in das Potential reinziehen – dann würde alles
andere genau so gelten - es ist eine reine Konversion.
Das Ganze wäre jetzt noch nicht so schön, wenn wir nicht auch tatsächlich dieses
Skalarpotential und das Vektorpotential angeben könnten.
Genau das ist aber der Fall.
Das heißt, man kann tatsächlich eben jetzt sowohl das Skalar - hier ist ein
Schreibfehler - das korrigiere ich dann irgendwann mal - Skalar natürlich mit einem
k noch darin - dieses Skalarpotential und das Vektor-Potential können jetzt
tatsächlich aus dem Feld F direkt ausgerechnet werden in der Art und Weise
wie das hier steht: das heißt, das sind Volumenintegrale einmal über die Divergenz
und einmal über die Rotation des Feldes.
Ich habe hier, um es wirklich deutlich zu machen, auch noch mal Striche drangesetzt:
diese Differenzialoperatoren beziehen sich jetzt eben auf die gestrichene Koordinate
und nicht etwa auf die ungestrichene Koordinate die außen steht.
Ansonsten könnten Sie das ja auch einfach vor das Integral ziehen.
Es muss hier tatsächlich bezüglich der gestrichelten Koordinaten abgeleitet werden.
Das ist der Ausdruck. So, in der Form, gilt er tatsächlich für Felder F, die ausreichend schnell – also
schneller als 1/r - gegen 0 streben.
Man kann das erweitern für den Fall, wenn das nicht erfüllt ist, diese Voraussetzung.
Dann kommen hier tatsächlich zusätzliche Oberflächenterme hinzu mit jeweils zwei
Oberflächenintegrale über die Oberfläche eines Volumens.
Und ja hier kann man schon so ein bisschen ablesen, wo diese Bedingung herkommt.
Wenn ich also will, das diese Therme hier wegfallen, dann muss ich eben zusehen, dass
F(r‘) schneller gegen 0 strebt, als 1/r-r‘ gegen endlich strebt.
Und das ist genau diese Bedingung das r mal F für r gegen unendlich verschwindet.
Dann fällt in diesem Oberflächenintegral der Integrand ausreichend schnell ab, so
dass selbst wenn ich das Volumen groß genug mache, die Kugeloberfläche nicht schnell
genug anwächst, um diesen Abfall von F zu kompensieren.
Und in dem Fall spielen die Oberflächenterme eben keine Rolle und es
bleibt eben genau das übrig, was ich eben schon dargestellt habe.
Das ist der Ausdruck, den wir in Zukunft verwenden werden - in aller Regel - und nur
in ganz, ganz großen Ausnahmefällen, wenn es nicht anders geht, dann kommt eben
dieser Term, diese Terme hinzu.
Häufig werden Sie tatsächlich diese Komponenten auch als sogenannte
transversale und longitudinale Komponenten bezeichnet finden.
Also das, was sich aus den Gradientenfeld - aus dem Skalarpotential - ergibt, wird
häufig auch als die longitudinale Komponente bezeichnet und die
divergenzfreie Komponente Rotation A, die also aus dem Vektorpotential kommt, die
wird auch sehr häufig die transversale Komponente des Feldes bezeichnet.
Der Hintergrund ist an der Stelle der, dass, wenn Sie eine Fouriertransformation
des Feldes F machen und sich das Ganze dann an einem Punkt k betrachten - dann sind
Sie im k-Raum - und betrachten einen Punkt k, was natürlich ein Vektor ist, dann
können sie eben das Feld im k-Raum aufspalten in einem Beitrag in Richtung von
k und in einem Beitrag senkrecht zu k: also einmal longitudinal und einmal
transversal. Und es stellt sich heraus, dass diese Beiträge genau diese Beiträge
sind, die wir hier grade auch angesprochen haben.
Das heißt, Rotation A ist eben dann genau dieser transversale Anteil und Gradient phi
bzw. - Gradient phi ist dann eben der longitudinale Beitrag.
Gut. Das soll hier tatsächlich auch ausreichen, für diese kurze Einführung.
Ich danke Ihnen sehr für Ihre Aufmerksamkeit.
Natürlich ist es so, dass wir auch später immer mal wieder das Eine oder Andere auch
an Mathematik wiederholen werden.
Aber über manche Sachen werden wir dann auch einfach hinweggehen und Ihre Aufgabe
wird es dann sein, dass in Ihren Unterlagen, die Sie ja haben aus anderen
Vorlesungen oder einem guten Buch, dann einfach noch mal nachzuschauen.
Gut, das war es. Wie gesagt: Besten Dank!
Auf der Webseite finden Sie gegebenenfalls weitere Informationen.
Bis zum nächsten Mal.