WEBVTT - generated by VCS 1 00:00:06.567 --> 00:00:08.033 Guten Tag meine Damen und Herren. 2 00:00:08.033 --> 00:00:11.933 Ich darf Sie ganz herzlich begrüßen zu einem weiteren Beitrag in der Reihe 3 00:00:11.933 --> 00:00:14.033 Theoretische Elektrotechnik. 4 00:00:14.033 --> 00:00:17.067 Es wird heute gehen um das Vorwissen. 5 00:00:17.067 --> 00:00:23.000 Wir wollen einfach einmal darauf schauen, was denn insbesondere an mathematisches 6 00:00:23.000 --> 00:00:25.833 Vorwissen notwendig ist. 7 00:00:25.833 --> 00:00:32.867 Das ganze wird kein Repetitorium werden, aber manche Sachen werden Ihnen vielleicht, 8 00:00:32.867 --> 00:00:36.367 wenn Sie es dann sehen, auch wieder einfallen. 9 00:00:36.367 --> 00:00:42.133 Mein Name ist Hans Georg Krauthäuser, Inhaber der Professur für 10 00:00:42.133 --> 00:00:46.500 Theoretische Elektrotechnik und Elektromagnetische Verträglichkeit an der TU Dresden. 11 00:00:46.525 --> 00:00:56.733 Gut. Jetzt würden wir direkt schon einsteigen in die Präsentation. 12 00:00:56.733 --> 00:01:05.000 Es geht in der Theoretischen Elektrotechnik so wie wir sie definieren, um die Maxwell-Gleichung. 13 00:01:05.000 --> 00:01:10.000 Und die Maxwell-Gleichung, die habe ich Ihnen hier 14 00:01:10.000 --> 00:01:13.000 noch einmal dargestellt. Es sind 4 Gleichungen. 15 00:01:13.000 --> 00:01:16.000 Wir haben das Induktionsgesetz. 16 00:01:16.000 --> 00:01:23.000 Wir haben das Ampèrische Durchflutungsgesetz erweitert um den Term 17 00:01:23.000 --> 00:01:27.000 den Maxwell dazu gebracht hat, die Verschiebungsstromdichte. 18 00:01:27.000 --> 00:01:31.000 Wir haben die Gesetzmäßigkeit der Quellenfreiheit des Magnetfeldes und wir 19 00:01:31.000 --> 00:01:40.000 haben das Coulomb-Gesetz, wo wir also die Quellen des elektrischen Feldes eingeführt haben. 20 00:01:40.000 --> 00:01:48.000 Wenn wir uns diese Grundgleichungen anschauen, dann wird schon offensichtlich, 21 00:01:48.000 --> 00:01:58.000 dass hier in einigen Bereichen eben Wissen notwendig ist und ganz offensichtlich 22 00:01:58.000 --> 00:02:02.000 müssen wir wissen, was denn Felder sind. 23 00:02:02.000 --> 00:02:08.000 Wir müssen mit den Feldern umgehen können, einfach weil die wesentlichen Größen, 24 00:02:08.000 --> 00:02:14.000 elektrische und magnetische Größen, die wir hier betrachten, Feldgrößen sind. 25 00:02:14.000 --> 00:02:21.000 Wenn wir uns mit Feldern beschäftigen, dann sollten wir uns mit skalar- als auch mit 26 00:02:21.000 --> 00:02:24.000 vektorwertigen Felder beschäftigen und auch mit reellen und komplexen Feldern. 27 00:02:24.000 --> 00:02:32.000 Dann sind das hier partielle Differenzialgleichungen, das heißt, auch 28 00:02:32.000 --> 00:02:39.000 sofort offensichtlich, dass Sie mit den Differenzialoperatoren auf den Feldern 29 00:02:39.000 --> 00:02:41.000 umgehen können müssen. 30 00:02:41.000 --> 00:02:49.000 Die Rotation und die Divergenz, aber wir werden dann Relativ schnell sehen, dass 31 00:02:49.000 --> 00:02:55.000 auch der Gradient eine Rolle spielt, so dass wir dann schon die drei wesentlichen 32 00:02:55.000 --> 00:03:00.000 Differenzialoperationen hier benannt hätten. 33 00:03:00.000 --> 00:03:05.000 Es sind partielle Differenzialgleichungen und wenn die Grundgleichung partielle 34 00:03:05.000 --> 00:03:09.000 Differenzialgleichungen sind, dann ist es ganz offensichtlich das wir ein gewisses 35 00:03:09.000 --> 00:03:15.000 Wissen an Differenzialgleichungen und auf den Bezug der Lösungsmethoden haben müssen. 36 00:03:15.000 --> 00:03:23.000 Vieles von dem werden wir aber im Zuge des Kurses tatsächlich auch noch einmal 37 00:03:23.000 --> 00:03:25.000 Detailliert betrachten. 38 00:03:25.000 --> 00:03:33.000 Die Formulierung wie sie hier oben angegeben ist, das ist ja eine 39 00:03:33.000 --> 00:03:40.000 differenzielle Formulierung, das heißt, die gibt Ihnen an, an einem bestimmten Ort 40 00:03:40.000 --> 00:03:45.000 instantan zu dieser Zeit, wie sind da die Verhältnisse und Verknüpfungen zueinander. 41 00:03:45.000 --> 00:03:51.000 Häufig ist es aber so, dass wir zu integralen Beschreibungen übergehen wollen 42 00:03:51.000 --> 00:03:57.000 und müssen und bei diesem Übergang von einer differenziellen und lokalen zu 43 00:03:57.000 --> 00:04:03.000 integralen Beschreibung, da werden wir natürlich auch zurück greifen müssen auf 44 00:04:03.000 --> 00:04:09.000 die Integralrechnung, seien es Linien-, Flächen- oder auch Volumenintegrale. 45 00:04:09.000 --> 00:04:18.000 Wir werden das auch in den jeweils problemangepassten Koordinatensystem 46 00:04:18.000 --> 00:04:24.000 machen, so dass also das Wissen nicht nur über die Kartesischen-Koordinatensysteme, 47 00:04:24.000 --> 00:04:32.000 sondern eben auch über zylindrische Koordinaten und sphärisch Koordinaten in 3D 48 00:04:32.000 --> 00:04:35.000 auf jeden Fall notwendig sein werden. 49 00:04:35.000 --> 00:04:43.000 Dazwischen muss auch umgerechnet werden, an der Stelle kommt dann die Metrik ins Spiel 50 00:04:43.000 --> 00:04:50.000 oder eben der metrische Tensor und wir greifen natürlich zurück auf Integralsätze, 51 00:04:50.000 --> 00:04:59.000 insbesondere Integralsatz von Gauss und den Integralsatz von Stokes, Kronecker- Delta 52 00:04:59.000 --> 00:05:03.000 wird eine Rolle spielen, insbesondere auch die Delta-Funktion. 53 00:05:03.000 --> 00:05:08.000 Ich nenne die hier Funktion, viele von Ihnen werden es wissen, es ist streng 54 00:05:08.000 --> 00:05:14.000 genommen keine Funktion, sondern eine Disbrution, aber bei dem was wir hier 55 00:05:14.000 --> 00:05:19.000 machen, kommt es auf diese Unterscheidung nicht wirklich an. 56 00:05:19.000 --> 00:05:21.000 Gehen wir direkt zu den Differenzialoperatoren über 57 00:05:25.000 --> 00:05:31.000 und wir fangen hier an mit der Divergenz. 58 00:05:31.000 --> 00:05:37.000 Die Divergenz ist eine Differenzialoperation die angewendet wird 59 00:05:37.000 --> 00:05:46.000 auf ein Vektorfeld und das was da raus kommt, ist etwas was wir auch gerne die 60 00:05:46.000 --> 00:05:51.000 Quellendichte nennen und die Quellendichte ist ein Skalarfeld. 61 00:05:51.000 --> 00:05:57.000 Die Divergenz eines Vektorfeldes ergibt also ein Skalarfeld. 62 00:05:57.000 --> 00:06:05.000 Sie wissen wahrscheinlich noch, wie Sie das in kartesischen Koordinaten ausrechnen können. 63 00:06:05.000 --> 00:06:12.000 Wir benutzen für die Divergenz den Operator div sehr häufig finden Sie das 64 00:06:12.000 --> 00:06:18.000 auch im Nabla-Operator geschrieben, dann in Form eines Skalarproduktes, also Nabla 65 00:06:18.000 --> 00:06:23.000 skalar multipliziert mit dem Feld F. 66 00:06:23.000 --> 00:06:26.000 Und wie rechnen wir das aus in Kartesischen Koordinaten? 67 00:06:26.000 --> 00:06:35.000 Wir rechnen über diese Summe wobei d/d x_i hier eben die partielle Ableitung der i-ten 68 00:06:35.000 --> 00:06:40.000 Koordinate ist und das ist einfach die Form wie wir eben auch ein 69 00:06:43.000 --> 00:06:45.000 Skalarprodukt schreiben würden. 70 00:06:45.000 --> 00:06:51.000 Deswegen ist es hier auch sehr naheliegend mit diesem Nabla-Operator zu arbeiten. 71 00:06:51.000 --> 00:06:57.000 Häufig werden Sie das auch abgekürzt finden, hin und wieder werden wir auch 72 00:06:57.000 --> 00:07:02.000 diese Schreibweise verwenden und eben über die Einsteinsche Summenkonvention das 73 00:07:02.000 --> 00:07:10.000 einfach schreiben als d_i F_i und das d_i bezeichnet hier eben auch wieder abgekürzt, 74 00:07:10.000 --> 00:07:14.000 die partielle Ableitung nach der i-ten Komponente. 75 00:07:14.000 --> 00:07:19.000 Und das hier sind kartesische Koordinaten. 76 00:07:19.000 --> 00:07:24.000 Wir listen das hier nicht auf für alle möglichen Koordinatensysteme - das können 77 00:07:24.000 --> 00:07:26.000 Sie auch in Formelsammlungen nachschauen. 78 00:07:26.000 --> 00:07:31.000 Ganz Sinnvoll ist es aber, wenn Sie sich das noch einmal vergegenwärtigen, dass wir 79 00:07:31.000 --> 00:07:38.000 das auch koordinatenfrei aufschreiben können und koordinatenfrei ergibt sich das 80 00:07:38.000 --> 00:07:50.000 eben als ein Limes über das Volumen V gegen 0 und dann steht hier im Wesentlichen das 81 00:07:50.000 --> 00:07:58.000 Oberflächenintegral des Feldes über die geschlossene Oberfläche dieses Volumens. 82 00:07:58.000 --> 00:08:03.000 n ist der Normalenvektor der Oberfläche des Volumens. 83 00:08:03.000 --> 00:08:06.000 Konventionsmäßig immer nach außen gerichtet. 84 00:08:06.000 --> 00:08:12.000 Und das Ganze wird noch normiert mit dem Faktor 1 durch V. 85 00:08:12.000 --> 00:08:22.000 Die Rotation, die wir uns als nächstes vergegenwärtigen, wird wiederum ebenfalls 86 00:08:22.000 --> 00:08:29.000 auf ein Vektorfeld angewendet, gibt aber nun als Resultat ebenfalls ein Vektorfeld. 87 00:08:29.000 --> 00:08:36.000 Und gerne wird die Rotation des Vektorfeldes als die Wirbelstärke dieses 88 00:08:36.000 --> 00:08:42.000 Feldes bezeichnet. Auch hier zunächst mal wieder in Kartesischen Koordinaten das 89 00:08:42.000 --> 00:08:44.000 Ganze ausgerechnet oder dargestellt. 90 00:08:44.000 --> 00:08:51.000 rot F ist die übliche Abkürzung die wir wählen werden. 91 00:08:51.000 --> 00:08:58.000 Auch hier wird man manchmal Nabla X F verwenden. 92 00:08:58.000 --> 00:09:04.000 X ist hier tatsächlich im Sinne eines Kreuzproduktes zu verstehen, wenn Nabla 93 00:09:04.000 --> 00:09:10.000 gleich der Vektor (d/dx, d/dy, d/dz) ist, dann rechnen Sie eben das jetzt hier 94 00:09:10.000 --> 00:09:16.000 wirklich nach den Regeln des Kreuzpunktes aus und das ist genau das, was hier hinten 95 00:09:16.000 --> 00:09:20.000 noch mal ausgeschrieben steht. 96 00:09:20.000 --> 00:09:27.000 Wenn Sie diese Summen jetzt nacheinander durchlaufen, dann bekommen Sie genau den 97 00:09:27.000 --> 00:09:31.000 Ausdruck, den Sie auch entsprechend des Kreuzproduktes bekommen würden. 98 00:09:31.000 --> 00:09:38.000 Zur Erinnerung: dieses Epsilon i, j, k was hier auftaucht, das ist der total 99 00:09:38.000 --> 00:09:43.000 antisymmetrische Einheitstensor dritter Stufe oder gerne auch das 100 00:09:43.000 --> 00:09:49.000 Levi-Cevita-Symbol genannt. Auch hier können wir wieder eine kompakte Form 101 00:09:49.000 --> 00:09:55.000 aufschreiben, wenn wir wieder die Einsteinsche Summenkonvention benutzen und 102 00:09:55.000 --> 00:10:00.000 auch die partielle Ableitung etwas kompakter schreiben, hätten wir einfach 103 00:10:00.000 --> 00:10:06.000 diese kompaktere Form Epsilon i, j, k Einheitsvektor in i-Richtung partielle 104 00:10:06.000 --> 00:10:12.000 Ableitung bezüglich J und dann eben angewendet auf die k-te Feldkomponente. 105 00:10:12.000 --> 00:10:19.000 Noch einmal ganz kurz: Levi-Cevita oder total antisymmetrische Einheitssensor 106 00:10:19.000 --> 00:10:25.000 dritter Stufe: Ganz einfach im Prinzip definiert, das ist eine Matrix oder ein 107 00:10:25.000 --> 00:10:34.000 drei dimensionales Gebilde - ein Tensor - der einfach den Wert 1 hat, wenn i, j, k 108 00:10:34.000 --> 00:10:40.000 zyklisch sind, zum Beispiel 1, 2, 3; der Wert ist -1, wenn i, j, k antizyklisch 109 00:10:40.000 --> 00:10:46.000 sind, also zum Beispiel 3, 2, 1 und in allen anderen Fällen ist der Wert von 110 00:10:46.000 --> 00:10:47.000 Epsilon i, j, k gleich 0. 111 00:10:47.000 --> 00:10:59.000 Auch hier gibt es eine koordinatenfreie Definition auch wieder als Limes über ein 112 00:10:59.000 --> 00:11:05.000 Volumen gegen 0 und das entscheidende Integral, was jetzt hier genommen wird, 113 00:11:05.000 --> 00:11:13.000 wäre also n X F, n ist wieder der Normalenvektor an der Oberfläche, das 114 00:11:13.000 --> 00:11:18.000 Integral erstreckt sich wieder über die geschlossene Oberfläche dieses Volumens und 115 00:11:18.000 --> 00:11:23.000 auch hier findet wieder eine Normierung mit dem Volumen statt. 116 00:11:23.000 --> 00:11:35.000 Das sind ganz wesentliche Operatoren, die wir hier immer wieder brauchen werden und 117 00:11:35.000 --> 00:11:42.000 ja es ist festzustellen, dass doch viele auch immer wieder gewisse Probleme damit 118 00:11:42.000 --> 00:11:44.000 haben und sich fragen „ja was ist denn das?“. 119 00:11:44.000 --> 00:11:48.000 Insbesondere die Anschauung ist manchmal das Problem. 120 00:11:48.000 --> 00:11:54.000 Ausrechnen kann man das dann, aber die Anschauung ist nicht so ganz da. 121 00:11:54.000 --> 00:12:02.000 Da muss man dann sagen, da gibt es ganz hervorragende Videos von Grant Sanderson 122 00:12:02.000 --> 00:12:10.000 dessen Kanal ich hier unten jetzt auch mal verlinkt habe und es gibt insbesondere auch 123 00:12:10.000 --> 00:12:15.000 ein Video zu Divergenz und Rotation, wo wir gleich auch mal ganz kurz reinschauen werden. 124 00:12:15.000 --> 00:12:25.000 Das Ganze ist nicht von der formalen Seite aufbereitet, sondern kommt 125 00:12:25.000 --> 00:12:29.000 tatsächlich von der visuellen Komponente her. 126 00:12:29.000 --> 00:12:37.000 Und Grant Sanderson verwendet hier ein Animation Package – manim en Python 127 00:12:37.000 --> 00:12:45.000 Package-, dass ich auch noch mal verlinkt habe, weil es eben tatsächlich auch sehr 128 00:12:45.000 --> 00:12:47.000 schön und auch in der Anwendung sehr schön ist. 129 00:12:47.000 --> 00:12:57.000 Also schauen wir einmal ganz kurz rein, hier wirklich in das Video über „Divergenz und Rotation" 130 00:12:57.000 --> 00:13:01.000 damit Sie einen Eindruck bekommen. 131 00:13:07.000 --> 00:13:12.000 Ich habe den Ton ein klein Bisschen runter genommen des Videos, Sie können sich das 132 00:13:12.000 --> 00:13:16.000 Video auch auf YouTube in voller Lautstärke anschauen. 133 00:13:16.000 --> 00:13:24.000 Aber das Entscheidende ist, was wir hier sehen, ist die wirklich richtig gute 134 00:13:24.000 --> 00:13:34.000 Animation und das ist das was eben häufig tatsächlich fehlt, wenn man es nur von der 135 00:13:34.000 --> 00:13:37.000 formalen Seite einführt. 136 00:13:37.000 --> 00:13:41.000 Schauen Sie ruhig auch einmal die anderen Videos an die Grant Sanderson 137 00:13:41.000 --> 00:13:43.000 auf seinem Kanal hat. 138 00:13:43.000 --> 00:13:50.000 Ich bin wirklich sehr angetan und halte das für eine außerordentlich gute Ergänzung zu 139 00:13:50.000 --> 00:13:57.000 dem, was wir hier machen. 140 00:13:57.000 --> 00:14:03.000 Gut, dass soll jetzt hier reichen, schalten das wieder aus und gehen jetzt weiter auf 141 00:14:03.000 --> 00:14:13.000 die nächste Folie und werden den dritten sehr wichtigen Differenzialoperator 142 00:14:13.000 --> 00:14:15.000 einführen - den Gradienten. 143 00:14:15.000 --> 00:14:25.000 Der Gradient tritt in den Maxwell-Gleichungen unmittelbar nicht auf, aber sehr schnell, wenn wir die Potentiale einführen 144 00:14:25.000 --> 00:14:28.000 - spätestens, wenn wir auf den Gradienten zurückgreifen. 145 00:14:28.000 --> 00:14:38.000 Der Gradient wird angewendet auf ein Skalarfeld und macht daraus dann ein 146 00:14:38.000 --> 00:14:41.000 Vektorfeld - die Ausgabe ist dann ein Vektorfeld. 147 00:14:41.000 --> 00:14:47.000 Und das Gradientenfeld ist das Richtungsfeld des stärksten Anstieges. 148 00:14:47.000 --> 00:14:51.000 Und das ist - glaube ich - etwas, was man sich relativ gut auch vorstellen kann. 149 00:14:51.000 --> 00:14:56.000 Deshalb brauchen wir hier vielleicht tatsächlich kein Video. 150 00:14:56.000 --> 00:15:01.000 Ich werde Ihnen aber gleich noch eine Quelle angeben, wo Sie trotzdem tatsächlich 151 00:15:01.000 --> 00:15:03.000 über Zusatzmaterial noch einmal schauen können. 152 00:15:03.000 --> 00:15:10.000 Zunächst in kartesischen Koordinaten: Wir werden häufig tatsächlich die 153 00:15:10.000 --> 00:15:14.000 ausgeschriebenen Abkürzungen verwendet, Gradient von F, wir können das auch 154 00:15:14.000 --> 00:15:19.000 schreiben als Nabla F, also Nabla angewendet auf F. 155 00:15:19.000 --> 00:15:27.000 Darunter verstehen wir dann einfach, dass wir die Funktion - das Feld - eben nach 156 00:15:27.000 --> 00:15:35.000 einander nach den Komponenten ableiten - partiell - und dann eben diese Beiträge 157 00:15:35.000 --> 00:15:39.000 wieder gewichtet mit den Einheitsvektoren in die Richtung aufsummieren, so dass wir 158 00:15:39.000 --> 00:15:42.000 also insgesamt ein Vektorfeld bekommen. 159 00:15:42.000 --> 00:15:46.000 Abgekürzt wieder mit der Einsteinischen Summenkonvention wäre das dann 160 00:15:46.000 --> 00:15:56.000 einfach e_i d_i F. Auch hier sei erwähnt, dass natürlich wieder eine koordinatenfreie 161 00:15:56.000 --> 00:16:03.000 Darstellung gibt, auch wieder über den Limes eines Volumens gegen 0, auch wieder 162 00:16:03.000 --> 00:16:08.000 mit einer Normung auf das Volumen 1 durch V und dann ist das einfach das 163 00:16:08.000 --> 00:16:18.000 Oberflächenintegral über die Oberfläche des Volumen F mal Normalenvektor dS, also 164 00:16:18.000 --> 00:16:20.000 relativ einfach definiert. 165 00:16:20.000 --> 00:16:27.000 Ich habe schon gesagt, auch hier gibt es tatsächlich, finde ich, gute Quellen. 166 00:16:27.000 --> 00:16:36.000 Ich verweise hier mal auf die „Khan Academy“ - Webadresse ist hier angegeben. 167 00:16:36.000 --> 00:16:43.000 Auch hier finde Sie ein Video, direkt zum Gradienten, es ist aber lohnenswert bei der 168 00:16:43.000 --> 00:16:48.000 „Khan Academy“ vielleicht auch mal andere Sachen anzuschauen. 169 00:16:48.000 --> 00:16:53.000 Im Gegensatz zu YouTube werden hier nicht nur Videos dargestellt, sondern es gibt zu 170 00:16:53.000 --> 00:17:02.020 vielen Themen tatsächlich dann auch echte Kurse mit Übungen, mit Selbsttest-Übungen, 171 00:17:02.020 --> 00:17:08.020 wo man sich durchklicken kann, sicherlich auch für viele Sachen eine gute Ergänzung 172 00:17:08.020 --> 00:17:14.020 um schnell etwas aufzuarbeiten, was man nicht mehr ganz so präsent hat. 173 00:17:14.020 --> 00:17:26.020 Gut, das waren die Differenzialoperatoren auf die wir immer wieder zurückgreifen werden. 174 00:17:26.020 --> 00:17:34.020 Ich hatte anfangs schon gesagt, natürlich brauchen wir das Ganze auch in 175 00:17:34.020 --> 00:17:36.020 verschiedenen Koordinatensystemen. 176 00:17:36.020 --> 00:17:41.020 Das liegt einfach daran, dass eben nicht immer die kartesischen Koordinaten, die 177 00:17:41.020 --> 00:17:49.020 problemangepassten Koordinaten sind und Probleme lösen sich am Einfachsten dann, 178 00:17:49.020 --> 00:17:55.020 wenn man ein gutes, ein problemangepasstes Koordinatensystem gefunden hat. 179 00:17:55.020 --> 00:18:03.080 Häufig kommt man eben hier neben den kartesischen Koordinaten, die Sie alle kennen, 180 00:18:03.080 --> 00:18:08.080 mit zylindrischen oder mit sphärischen Koordinaten weiter. 181 00:18:08.080 --> 00:18:11.080 Das Ganze natürlich in 2 D oder auch in 3 D. 182 00:18:11.080 --> 00:18:15.080 Die höheren Dimensionen brauchen wir typischerweise nicht. 183 00:18:15.080 --> 00:18:18.080 Sie müssen wissen, wie man die Komponenten umrechnet. 184 00:18:18.080 --> 00:18:25.080 Das führt Sie dann sehr schnell auf den Begriff der Jacobi-Matrix, die Sie dann 185 00:18:25.080 --> 00:18:30.080 auch brauchen um differenziale oder integrale Elemente umzurechnen. 186 00:18:30.080 --> 00:18:38.080 Das heißt um div, rot, grad in verschiedenen Koordinatensystemen 187 00:18:38.080 --> 00:18:42.080 darzustellen, um aber auch die Volumenelemente, die Flächenelemente oder 188 00:18:42.080 --> 00:18:46.080 die Linienelemente in verschiedenen Koordinaten darzustellen. 189 00:18:46.080 --> 00:18:53.080 Dabei spielt dann eben der metrische Tensor, die Metrik, eine ganz entscheidende 190 00:18:53.080 --> 00:19:00.040 Rolle, die Sie eben aus der Jacobi-Matrix ausrechnen oder mit Hilfe der Jacobi-Matrix 191 00:19:00.040 --> 00:19:09.040 ausrechnen. Integralsätze ist etwas, was man eigentlich ständig braucht. 192 00:19:09.040 --> 00:19:17.040 Wenn man die Ableitungen hat und entsprechende Umformschritte macht, brauch 193 00:19:17.040 --> 00:19:22.040 man eigentlich ständig insbesondere den Satz von Gauß und den Satz von Stokes. 194 00:19:22.040 --> 00:19:25.040 Fangen wir mit dem Satz von Gauß an. 195 00:19:25.040 --> 00:19:29.040 Der Satz von Gauß besagt, dass Oberflächenintegral eines Vektorfeldes F 196 00:19:29.040 --> 00:19:37.040 über eine geschlossene Fläche O von V, Oberfläche von V, ist gleich dem 197 00:19:37.040 --> 00:19:42.040 Volumenintegral der Divergenz von F erstreckt über das von der Fläche O von V 198 00:19:42.040 --> 00:19:48.040 eingeschlossen Volumen oder eben formal mathematisch ausgedrückt: Volumenintegral 199 00:19:48.040 --> 00:20:00.000 Divergenz F dV ist gleich Oberflächenintegral F mal n dS. 200 00:20:00.000 --> 00:20:03.000 n ist hier wiederum der Normalenvektor. 201 00:20:03.000 --> 00:20:10.000 Das geht natürlich auch im Zweidimensionalen, hingeschrieben haben wir 202 00:20:10.000 --> 00:20:14.000 das jetzt hier für eine dreidimensionales Volumen und Oberfläche. 203 00:20:14.000 --> 00:20:19.000 Das sind Begriffe die man eben dreidimensional ganz nochmal verwendet, 204 00:20:19.000 --> 00:20:24.000 aber Formal geht es auch in Zweidimensionalen, dann ist das Volumen 205 00:20:24.000 --> 00:20:28.000 eine Fläche und das Oberflächenintegral wäre dann eben 206 00:20:28.000 --> 00:20:31.000 das geschlossene Wegintegral. 207 00:20:31.000 --> 00:20:44.000 Der Satz von Stokes ist ähnlich einfach und dürfte Ihnen auch bekannt sein, ja wie 208 00:20:44.000 --> 00:20:48.000 gesagt im Sinne einer Wiederholung eines kurzen Aufrufens der Sätze ist hier 209 00:20:48.000 --> 00:20:50.000 vielleicht ganz gut, wenn wir es noch einmal durchgehen. 210 00:20:50.000 --> 00:20:58.000 Das Kurven- oder Linienintegral eines Vektorfeldes F Längs einer einfach 211 00:20:58.000 --> 00:21:05.060 geschlossenen Kurve C von A, Kontur von A, ist gleich dem Oberflächenintegral der 212 00:21:05.060 --> 00:21:13.060 Rotation von F über eine beliebige Fläche A die durch die Kurve C berandet wird. 213 00:21:13.060 --> 00:21:25.060 Oder wiederum etwas formal ausgedrückt: Das Wegeintegral F ds um die Kontur der Fläche 214 00:21:25.060 --> 00:21:30.060 A ist gleich dem Flächenintegral Rotation F dS. 215 00:21:30.060 --> 00:21:35.060 Und das können wir natürlich auch wieder schreiben als Integral Rotation F skalar 216 00:21:35.060 --> 00:21:40.060 multipliziert mit dem normalen Vektor n dS. 217 00:21:40.060 --> 00:21:53.060 Etwas, das vielleicht ein bisschen mehr in Vergessenheit geraten ist - was für Sie 218 00:21:53.060 --> 00:21:58.060 aber auch nicht neu ist -ist die Delta- Funktion. 219 00:21:58.060 --> 00:22:04.020 Besser gesagt eigentlich Delta-Distribution, weil es gibt keinen 220 00:22:04.020 --> 00:22:07.020 geschlossenen Funktionsausdruck für das, was wir jetzt hier einführen. 221 00:22:07.020 --> 00:22:11.020 Aber das sehen wir gleich noch. 222 00:22:11.020 --> 00:22:14.020 Kommen wir aber zuerst noch zur Motivation. 223 00:22:14.020 --> 00:22:20.020 Warum brauchen wir eigentlich die Delta-Funktion, die Delta-Distribution? 224 00:22:20.020 --> 00:22:23.020 Was machen wir damit? Warum ist sie von so großer Bedeutung? 225 00:22:23.020 --> 00:22:36.020 Dazu ein Beispiel: Wir kennen alle das Coulomb-Feld, das ja für eine Punktladung 226 00:22:36.020 --> 00:22:41.020 im Ursprung genauso aussieht, wie ich Ihnen das hier so dargestellt habe. 227 00:22:41.020 --> 00:22:46.020 Das heißt, das Feld E ist gleich einer Normierung - 1 durch 4 pi eplsilon_0 - 228 00:22:46.020 --> 00:22:52.020 Q ist die Ladung im Ursprung und dann fällt das eben 1 durch r^2 ab und ist immer in 229 00:22:52.020 --> 00:22:56.020 Richtung des Einheitsvektors in radialer Richtung gerichtet. 230 00:22:56.020 --> 00:23:04.080 Also eine einfache Größe, die Sie aus den Grundlagen der Elektrotechnik auf jeden Fall schon kennen. 231 00:23:04.080 --> 00:23:10.080 Wenn wir jetzt die Divergenz - die Quellstärke - einer solchen Punktladung 232 00:23:10.080 --> 00:23:19.080 errechnen wöllten, dann erwarten wir ja, dass die außerhalb des Ursprunges, da wo 233 00:23:19.080 --> 00:23:26.080 keine Quellen sind, gleich 0 ist und am Ursprung, da wo die Quelle ist, da sollte 234 00:23:26.080 --> 00:23:33.080 die Quellstärke tatsächlich auch einen Wert ergeben, einen endlichen Wert ergeben. 235 00:23:33.080 --> 00:23:38.080 Und wir haben eben schon gesagt: die Divergenz ist das, was die Quellstärke ausrechnet. 236 00:23:38.080 --> 00:23:42.080 Und wenn wir jetzt die ganzen Konstanten, die wir hier oben noch stehen 237 00:23:42.080 --> 00:23:46.080 haben, mal weglassen, dann beschränkt sich die Aufgaben ja darauf, dass wir die 238 00:23:46.080 --> 00:23:52.080 Divergenz berechnen von 1 durch r^2 Einheitsvektor in Richtung R. 239 00:23:52.080 --> 00:23:58.080 Das Problem ist kugelsymmetrisch. 240 00:23:58.080 --> 00:24:05.040 Also würden wir hier sicherlich auch hingehen und den Divergenz-Operator direkt 241 00:24:05.040 --> 00:24:08.040 in Kugelkoordinaten anwenden. 242 00:24:08.040 --> 00:24:10.040 Das suchen wir uns aus den Formelsammlungen, 243 00:24:10.040 --> 00:24:11.040 wenn wir es nicht mehr wissen. 244 00:24:11.040 --> 00:24:17.040 Klar ist, das werden natürlich auch Ableitungen nach d/d phi und d/d theta auftauchen, 245 00:24:17.040 --> 00:24:21.040 die aber hier kein Rolle spielen, weil wir hier ja gar keine 246 00:24:21.040 --> 00:24:24.040 Abhängigkeit von phi und theta haben. 247 00:24:24.040 --> 00:24:35.040 Das heißt, es bleibt hier wirklich nur übrig, die Ableitung in radialer Richtung 248 00:24:35.040 --> 00:24:39.040 dr und wenn wir uns da aus der Formelsammlung und das anschauen, wie das 249 00:24:39.040 --> 00:24:44.040 aussieht, dann sieht das eben so aus, wie es hier aufgeschrieben ist: 1 durch r^2 250 00:24:44.040 --> 00:24:53.040 Ableitung in r Richtung und dann r^2 mal die Funktion die wir ableiten wollen und 251 00:24:53.040 --> 00:24:56.040 das ist 1 durch r^2 e_r. 252 00:24:56.040 --> 00:25:06.000 Das sieht zunächst mal gar nicht so kompliziert aus, hat aber an der Stelle, an 253 00:25:06.000 --> 00:25:15.000 der wir das betrachten wollen, nämlich am Ursprung, genau ein kleines Problem: r^2 254 00:25:15.000 --> 00:25:20.000 durch r^2 an dieser Stelle können wir natürlich heraus kürzen – das ist einfach 1 255 00:25:20.000 --> 00:25:28.000 - so dass übrig bleibt: die partielle Ableitung in radialer Richtung des 256 00:25:28.000 --> 00:25:31.000 Einheitsvektors in radialer Richtung. 257 00:25:31.000 --> 00:25:37.000 Außerhalb des Ursprunges ist das überhaupt kein Problem: Sie haben den Einheitsvektor, 258 00:25:37.000 --> 00:25:47.000 der zeigt in radialer Richtung und wenn Sie die Veränderung in der gleichen Richtung 259 00:25:47.000 --> 00:25:50.000 sich anschauen, dann stellen Sie fest, dass der Einheitsvektor sich in dieser Richtung 260 00:25:50.000 --> 00:25:52.000 überhaupt nicht verändert. 261 00:25:52.000 --> 00:25:59.000 Das heißt, außerhalb des Ursprunges ist das einfach 0, keine Veränderung heißt 262 00:25:59.000 --> 00:26:08.060 Ableitung ist 0 und das ist ja genau das was wir eigentlich hier auch haben wollen. 263 00:26:08.060 --> 00:26:27.060 Wenn wir aber den Ursprung betrachten und am Ursprung müssen Sie sich jetzt 264 00:26:27.060 --> 00:26:32.060 vorstellen, wie sieht denn der Einheitsvektor im Ursprung aus? 265 00:26:32.060 --> 00:26:38.060 Wenn Sie hier den Ursprung haben an dieser Stelle, dann wird der Einheitsvektor ja - 266 00:26:38.060 --> 00:26:45.060 wenn Sie sich vorstellen infinitisimal bewegen Sie sich vom Ursprung weg - dann 267 00:26:45.060 --> 00:26:52.060 zeigt er mal in diese Richtung und mal in diese Richtung und das ist genau das 268 00:26:52.060 --> 00:26:55.060 Dilemma, was Sie an dieser Stelle haben. 269 00:26:55.060 --> 00:27:02.020 Wenn Sie jetzt wirklich die Ableitung ausrechnen wollen, dann ist das im Prinzip 270 00:27:02.020 --> 00:27:03.020 wirklich unbestimmt. 271 00:27:03.020 --> 00:27:09.020 Sie wissen nicht genau, wie der Einheitsvektor denn aussieht, selbst bei 272 00:27:09.020 --> 00:27:12.020 einer infinitisimalen Verschiebungen aus dem Ursprung heraus. 273 00:27:12.020 --> 00:27:18.020 Das heißt, Sie haben an der Stelle - für den Ursprung - tatsächlich ein Problem. 274 00:27:18.020 --> 00:27:26.020 Und wegen solcher Art von Problemen, die nicht nur wie jetzt beim Coulomb Potential 275 00:27:26.020 --> 00:27:30.020 auftauchen, sondern die immer wieder auch bei ähnlichen Sachen auftauchen. 276 00:27:30.020 --> 00:27:36.020 Genau wegen solchen Problemen führen wir tatsächlich die Delta-Funktion - die 277 00:27:36.020 --> 00:27:38.020 Delta-Distribution - ein. 278 00:27:38.020 --> 00:27:46.020 Wir definieren sie jetzt einfach einmal über ihre Eigenschaften die sie hat. 279 00:27:46.020 --> 00:27:51.020 Und das sind zwei Stück: Wir sagen einfach nur, dass soll eine Funktion - eine 280 00:27:51.020 --> 00:27:56.020 Disputation - sein, für die gelten soll, dass sie für x ungleich 0 verschwindet, 281 00:27:56.020 --> 00:28:13.080 also delta(x)=0 für x ungleich 0 und dass, wenn ich das Integral dieser Funktion bilde 282 00:28:13.080 --> 00:28:18.080 von -unendlich bis +unendlich, dass es dann normiert sein sollte. 283 00:28:18.080 --> 00:28:20.080 Das heißt, dieses Integral ist einfach 1. 284 00:28:20.080 --> 00:28:25.080 Die Fläche unter der Kurve -unendlich bis +unendlich ist 1. 285 00:28:25.080 --> 00:28:35.080 Solche Funktionen existieren eben tätsächlich nur im Grenzwert anderer Funktion. 286 00:28:35.080 --> 00:28:38.080 Das ist genau der Punkt, warum es selber keine Funktion ist. 287 00:28:38.080 --> 00:28:44.080 Sondern wir können das eigentlich nur definieren als Grenzwert von n gegen 288 00:28:44.080 --> 00:28:56.080 unendlich von Funktionen f_n von x, die eben normiert sind und für die dann eben 289 00:28:56.080 --> 00:29:05.040 einfach dieser Wert f_n(x) für n gegen unendlich gegen 0 strebt außerhalb des 290 00:29:05.040 --> 00:29:13.040 Ursprungs. Solche Reihen von Funktionen gibt es. 291 00:29:13.040 --> 00:29:17.040 Man kann das beispielsweise wie eben hier so abschnittsweise definieren. 292 00:29:17.040 --> 00:29:22.040 Sie können sich leicht davon überzeugen, dass diese Funktionsreihe genau diese 293 00:29:22.040 --> 00:29:26.040 Eigenschaft hat, die ich oben gefordert habe. 294 00:29:26.040 --> 00:29:31.040 Das muss aber nicht so eine geteilte Definition sein, sondern wir können das 295 00:29:31.040 --> 00:29:40.040 hier mit so einer gaußartigen Funktion machen oder auch über so eine Sinus x durch 296 00:29:40.040 --> 00:29:44.040 x^2 Reihe funktioniert das auch. 297 00:29:44.040 --> 00:29:54.040 Das sind drei Beispiele wie Sie Funktionenreihen ansetzten können, um dann 298 00:29:54.040 --> 00:30:00.000 eben im Grenzwert gegen unendlich zur Deltafunktion zu kommen. 299 00:30:00.000 --> 00:30:07.000 Es gibt wichtige Beziehungen für die Deltafunktion, die wir hier auch ganz kurz 300 00:30:07.000 --> 00:30:10.000 aufführen wollen, die wir ganz kurz wiederholen wollen. 301 00:30:10.000 --> 00:30:20.000 Aus der Definition folgt ziemlich unmittelbar, eine wichtige Eigenschaft. 302 00:30:20.000 --> 00:30:29.000 Wenn Sie über eine Funktion integrieren und im Integral dann eben als Faktor auch noch 303 00:30:29.000 --> 00:30:37.000 die Deltafunktion stehen haben, dann kommt da einfach der Funktionswert am Ursprung 304 00:30:37.000 --> 00:30:39.000 bei X gleich 0 raus. 305 00:30:39.000 --> 00:30:44.000 Das können Sie über die Definition der Deltafunktion und über die 306 00:30:44.000 --> 00:30:48.000 Normierungseigenschaft leicht überprüfen. 307 00:30:48.000 --> 00:30:53.000 Für x gleich 0 ist das hier einfach nur eine 0 multiplizieren, deshalb spielen die 308 00:30:53.000 --> 00:30:58.000 anderen Funktionswerte keine Rolle und über die Normierung bleibt es dann dabei, dass 309 00:30:58.000 --> 00:31:00.060 das einfach f(0) ist. 310 00:31:00.060 --> 00:31:06.060 Das ist eine ganz, ganz wesentliche Eigenschaft, die Sie tatsächlich auch noch 311 00:31:06.060 --> 00:31:10.060 verwenden können, wenn Sie das Ganze jetzt verschieben. 312 00:31:10.060 --> 00:31:16.060 Das heißt, wenn Sie jetzt nicht Delta von x betrachten, sondern wenn Sie betrachten 313 00:31:16.060 --> 00:31:21.060 Delta von x minus a, dann können Sie sich ganz leicht auch wieder überlegen, dass 314 00:31:21.060 --> 00:31:29.060 eben alle Werte, außer x gleich a, hier keine Rolle spielen, weil dann eben Delta 315 00:31:29.060 --> 00:31:31.060 von x minus a gleich 0 ist. 316 00:31:31.060 --> 00:31:37.060 Und die Normierung bleibt natürlich die gleiche, auch wenn Sie das auf der Achse 317 00:31:37.060 --> 00:31:44.060 etwas verschieben, so dass hier einfach dann f von a herauskommt. 318 00:31:44.060 --> 00:31:50.060 Wichtig, insbesondere für physikalischen Problemen, ist auch eine 319 00:31:50.060 --> 00:31:58.060 Skalierungseigenschaft. Sie können sich ja vorstellen, dass das x was wir betrachten, 320 00:31:58.060 --> 00:32:03.020 nicht immer eine dimensionslose Größe sein muss, sondern manchmal ist sie auch 321 00:32:03.020 --> 00:32:07.020 dimensionsbehaftete Größe - könnte zum Beispiel eine Länge sein. 322 00:32:07.020 --> 00:32:15.020 Und dann ist es eben ganz gut zu wissen, wie sich die Deltafunktion verhält, wenn 323 00:32:15.020 --> 00:32:19.020 man hier eben mit einem skalaren k multipliziert. 324 00:32:19.020 --> 00:32:22.020 Das k könnte jetzt beispielsweise dann eben die Einheit sein. 325 00:32:22.020 --> 00:32:26.020 Und dann gilt diese Beziehung, die ich Ihnen hier aufgeschrieben habe, 1 durch k 326 00:32:26.020 --> 00:32:28.020 Betrag Delta von x. 327 00:32:28.020 --> 00:32:39.020 Natürlich können wir die Delta-Funktion auch auf dreidimensionale Gegebenheiten verallgemeinern: 328 00:32:39.020 --> 00:32:42.020 Das ist hier unten aufgeschrieben. 329 00:32:42.020 --> 00:32:53.020 Wenn also r gleich x e_z + y e_y + z e_z ist, dann können wir Delta von r definieren 330 00:32:53.020 --> 00:32:59.020 als das Produkt dreier Deltafunktionen, Delta von x mal Delta von y mal Delta von z. 331 00:32:59.020 --> 00:33:09.080 Und dann gilt genauso wieder die Definition: wenn eine der Größen x, y oder 332 00:33:09.080 --> 00:33:21.080 z ungleich Null ist, dann ergibt dieses Gesamtprodukt 0 und die Normierung gilt 333 00:33:21.080 --> 00:33:25.080 natürlich auch wieder entsprechend - das können Sie sich leicht überlegen -, so dass 334 00:33:25.080 --> 00:33:30.080 wir diese Delta-Distribution auch im dreidimensionalen oder in beliebigen 335 00:33:30.080 --> 00:33:33.080 Dimensionen verwenden können. 336 00:33:33.080 --> 00:33:43.080 Ja, jetzt können wir tatsächlich ein wenig rumrechnen und den Gaußschen Integralsatz 337 00:33:43.080 --> 00:33:52.080 und die Delta-Funktion verwenden, um sich tatsächlich diesem Problem - was ist denn 338 00:33:52.080 --> 00:33:58.080 die Divergenz 1 durch r^2 e_r - noch einmal anzunähern. 339 00:33:58.080 --> 00:34:06.040 Und um das zu machen, bilden wir jetzt einfach ein Volumenintegral 340 00:34:06.040 --> 00:34:09.040 über Divergenz 1 durch r^2 e_r. 341 00:34:09.040 --> 00:34:13.040 Und wir sind ja vollkommen frei, welche Oberfläche wir nehmen. 342 00:34:13.040 --> 00:34:18.040 Und es ist naheliegend, wenn wir ein solches Problem haben, das ja 343 00:34:18.040 --> 00:34:24.040 offensichtlich ein sphärisches Problem ist, dass wir dann auch ein spezielles Volumen 344 00:34:24.040 --> 00:34:28.040 nehmen, weil wir uns damit das Leben etwas einfacher machen können. 345 00:34:28.040 --> 00:34:35.040 Das Volumen, das wir hier wählen, ist einfach eine Kugel vom Radius R also K(R) 346 00:34:35.040 --> 00:34:42.040 soll jetzt also einfach eine Kugel um den Ursprung mit Radius R sein. 347 00:34:42.040 --> 00:34:51.040 Dann sagt uns der Satz von Gauß, dass wir dieses Volumenintegral überführen können in 348 00:34:51.040 --> 00:35:00.000 ein Oberflächenintegral über die Oberfläche der Kugel und dabei wird dann die 349 00:35:00.000 --> 00:35:02.000 Divergenz einfach weggelassen. 350 00:35:02.000 --> 00:35:09.000 Und hier hinten steht natürlich e_r mal dem Flächenelement. 351 00:35:09.000 --> 00:35:17.000 Und dieses Oberflächenintegral erstreckt sich ja über die Oberfläche der Kugel, das 352 00:35:17.000 --> 00:35:23.000 hat offensichtlich nur Beiträge bei r = R. 353 00:35:23.000 --> 00:35:27.000 Da sehen wir auch, warum das so günstig war, eine Kugel zu nehmen. 354 00:35:27.000 --> 00:35:30.000 Das macht das Ganze wesentlich einfacher. 355 00:35:30.000 --> 00:35:40.000 Und dieses Oberflächenelement, das können wir natürlich auch schreiben als r^2, sin 356 00:35:40.000 --> 00:35:43.000 theta, d theta d phi. 357 00:35:43.000 --> 00:35:49.000 Und es ist immer nach Außen gerichtet also mal e_r. 358 00:35:49.000 --> 00:36:00.060 Das ist ganz einfach das Flächenelement dieser Kugel mit Radius R um den Ursprung. 359 00:36:00.060 --> 00:36:06.060 Das können wir einsetzen, das macht uns das Ganze jetzt schön einfach: Wir haben dann 360 00:36:06.060 --> 00:36:14.060 offensichtlich eine Integration über d phi - die läuft von 0 bis 2 pi. 361 00:36:14.060 --> 00:36:19.060 Der Ausdruck, den wir unter dem Integral stehen haben, ist aber gar nicht von phi 362 00:36:19.060 --> 00:36:27.060 abhängig, so dass uns dieses Integral d phi einfach nur einen Faktor 2 pi liefert. 363 00:36:27.060 --> 00:36:36.060 Das geht ja von 0 bis 2 pi und das Integral d phi von 0 bis 2 pi ist eben 2 pi und es 364 00:36:36.060 --> 00:36:41.060 bleibt dann übrig natürlich die Integration d theta - die geht über den Bereich von 0 bis pi. 365 00:36:41.060 --> 00:36:48.060 Und ansonsten ist hier einfach eingesetzt, das Flächenintegral und wir haben noch 366 00:36:48.060 --> 00:37:00.020 sofort ausgerechnet, dass e_r mal e_r einfach gleich 1 ist und das hier in diesem 367 00:37:00.020 --> 00:37:03.020 Ausdruck überhaupt nicht mehr auftaucht. 368 00:37:03.020 --> 00:37:10.020 Ja, und hier steht wieder ein r^2 durch r^2 - das ist eine 1-, so dass letztendlich 369 00:37:10.020 --> 00:37:13.020 einfach nur übrig bleibt das Integral über sin theta d theta. 370 00:37:13.020 --> 00:37:21.020 Und das ist auch nicht schwierig: das Integral 0 bis pi sin theta d theta ist 2. 371 00:37:21.020 --> 00:37:28.020 Und das mit den 2 pi die wir schon haben, gibt einfach einen Faktor 4 pi. 372 00:37:28.020 --> 00:37:41.020 Das verleitet uns jetzt dazu, doch einfach den Ausdruck, den wir hier für die 373 00:37:41.020 --> 00:37:50.020 Divergenz stehen haben, zu identifizieren mit 4 pi delta von r. 374 00:37:50.020 --> 00:37:57.020 Weil, wenn wir das machen, stellen Sie sich vor, wir würden hier oben 4 pi delta von r 375 00:37:57.020 --> 00:38:02.080 einsetzen, da geht das 4 pi natürlich nach vorne. 376 00:38:02.080 --> 00:38:13.080 Und das delta von r über diese Kugel das liefert uns ja außerhalb des Ursprunges 377 00:38:13.080 --> 00:38:19.080 überhaupt keine Beiträge mehr und ist aber insgesamt normiert. 378 00:38:19.080 --> 00:38:24.080 Natürlich können wir die Kugel dann bis unendliche gehen lassen, was den Wert nicht verändert, 379 00:38:24.080 --> 00:38:31.080 weil das was unter dem Integral steht, ja überhaupt keine Beiträge mehr hat, ungleich von 0. 380 00:38:31.080 --> 00:38:37.080 Und dann steht von beiden Seiten 4 pi gleich 4 pi, was offensichtlich richtig ist. 381 00:38:37.080 --> 00:38:44.080 Und damit hätten wir gezeigt, dass diese Identität gilt. 382 00:38:44.080 --> 00:38:53.080 Das heißt, es ist uns hier gelungen, diese Divergenz auszurechnen, insbesondere eben 383 00:38:53.080 --> 00:38:55.080 auch für den Ursprung auszurechnen. 384 00:38:55.080 --> 00:39:01.040 Und das gibt einen Wert der mit der Delta-Funktion verknüpft ist. 385 00:39:01.040 --> 00:39:09.040 Das ist aber auch gar nicht so überraschend und kommt letztendlich daher, dass das 386 00:39:09.040 --> 00:39:15.040 Konstrukt, was wir ursprünglich gewählt haben, nämlich zu sagen, wir haben hier 387 00:39:15.040 --> 00:39:21.040 eine Punktladung im Ursprung, das ist ja auch schon was sehr, sehr künstliches. 388 00:39:21.040 --> 00:39:28.040 Tatsächlich gibt es ja keine Punktladung, jede Ladung wird eine gewisse Ausdehnung haben. 389 00:39:28.040 --> 00:39:33.040 Und wenn man mit einer endlichen Ausdehnung rechnen würde, dann hätten wir 390 00:39:33.040 --> 00:39:36.040 tatsächlich dieses Problem am Ursprung nicht. 391 00:39:36.040 --> 00:39:42.040 Das heißt, dass wir hier die Delta-Funktion hinein bekommen in den Ausdruck für die 392 00:39:42.040 --> 00:39:46.040 Divergenz ist einerseits ganz schön, wenn wir auf diese Art und Weise die Verknüpfung 393 00:39:46.040 --> 00:39:49.040 der Divergenz und der Delta-Funktion an der Stelle bekommen haben. 394 00:39:49.040 --> 00:39:56.040 Und auf der anderen Seite braucht uns das jetzt aber nicht großartig zu verwirren, 395 00:39:56.040 --> 00:40:03.000 weil dass, was wir angesetzt haben, ist ja auch etwas ja sehr – ja, künstliches will 396 00:40:03.000 --> 00:40:06.000 ich vielleicht gar nicht sagen - modellhaftes. 397 00:40:06.000 --> 00:40:12.000 Und dass dann eben hier etwas merkwürdige Lösung raus kommt für die Quellstärke am 398 00:40:12.000 --> 00:40:17.000 Ursprung ist eigentlich nicht weiter verwunderlich. 399 00:40:17.000 --> 00:40:27.000 Wir können dann aber natürlich auch, wenn wir schon an diesem Punkt angekommen sind, 400 00:40:27.000 --> 00:40:30.000 auch einfach weiter rechnen. 401 00:40:30.000 --> 00:40:37.000 Und etwas, was man sehr einfach ausrechnen kann, ist tatsächlich der Gradient 1/r. 402 00:40:37.000 --> 00:40:41.000 Schreiben Sie sich einfach mal hin, dann ist es relativ schnell klar. 403 00:40:41.000 --> 00:40:46.000 Hier gibt es natürlich keinen phi und keinen theta Anteil, so dass hier einfach 404 00:40:46.000 --> 00:40:50.000 stehen bleibt: e_r d nach d r von 1/r. 405 00:40:50.000 --> 00:40:56.000 Und das ist ganz offensichtlich -1/r^2 e_r. 406 00:40:56.000 --> 00:41:04.060 Und das ist bis auf das Vorzeichen genau der Term, den wir hier unter der Divergenz 407 00:41:04.060 --> 00:41:10.060 stehen haben - von dem wir alsovschon wissen, wie groß die Divergenz ist. 408 00:41:10.060 --> 00:41:21.060 Und wenn wir das zusammenführen und jetzt einfach diesen Ausdruck hier oben einsetzen 409 00:41:21.060 --> 00:41:28.060 würden, bekommen wir eine wichtige Beziehung für den Laplace-Operator, den wir 410 00:41:28.060 --> 00:41:30.060 bei dieser Gelegenheit auch einführen. 411 00:41:30.060 --> 00:41:38.060 Der Laplace-Operator ist nichts anderes als Divergenz angewendet auf das 412 00:41:38.060 --> 00:41:46.060 Gradientenfeld. Er wird auch sehr häufig mit einem solchen Delta geschrieben, mit 413 00:41:46.060 --> 00:41:53.060 dem Laplace-Operator. Und wir sehen dann nach Einsetzen unmittelbar: Laplace 1/r - 414 00:41:53.060 --> 00:42:01.020 was ja nichts anderes ist, als Divergenz Gradient von 1/r - und das ist gleich -4 pi delta von (r). 415 00:42:01.020 --> 00:42:09.020 Das Minuszeichen ist genau das Minus, was hier schon steht, also nicht wundern, 416 00:42:09.020 --> 00:42:15.020 wenn Sie das Einsetzen hier oben in den Divergenz-Term oder das Argument der 417 00:42:15.020 --> 00:42:20.020 Divergenz, dann taucht das Minus-Zeichen eben auf der anderen 418 00:42:20.020 --> 00:42:23.020 Seite auf, überhaupt kein Problem. 419 00:42:23.020 --> 00:42:35.020 Ja und nun sind wir schon wieder fast am Ende der Bestandsaufnahme für das 420 00:42:35.020 --> 00:42:37.020 Vorwissen, das wir hier brauchen. 421 00:42:37.020 --> 00:42:45.020 Und ich möchte das Ganze hier nicht beenden, ohne tatsächlich noch einmal auf 422 00:42:45.020 --> 00:42:49.020 die Zerlegung von Vektorfeldern zu kommen. 423 00:42:49.020 --> 00:42:55.020 Und zwar auf das sogenannte Helmholtz-Theorem - häufig heißt das auch 424 00:42:55.020 --> 00:43:05.080 das Fundamentaltheorem der Vektoranalysis und ist wirklich extrem wichtig und liefert 425 00:43:05.080 --> 00:43:11.080 uns mathematischen Hintergrund für vieles von dem was wir machen. 426 00:43:11.080 --> 00:43:18.080 Das Helmholtz-Theorem liefert zunächst mal eine ganz einfache Aussage. 427 00:43:18.080 --> 00:43:24.080 Und zwar ist es so, wenn wir ein ziemlich beliebiges Vektorfeld f haben. 428 00:43:24.080 --> 00:43:31.080 Und ziemlich beliebig: wir wollen hier annehmen das es tatsächlich stärker als 1/r 429 00:43:31.080 --> 00:43:36.080 gegen unendlich abfällt auf 0. 430 00:43:36.080 --> 00:43:39.080 Wir sehen nachher noch, wofür wir das tatsächlich brauchen. 431 00:43:39.080 --> 00:43:45.080 Das ist aber eine Bedingung, die für tatsächlich relevante Probleme eigentlich 432 00:43:45.080 --> 00:43:48.080 immer erfüllt - also keine strenge Einschränkung. 433 00:43:48.080 --> 00:43:52.080 Und wir können davon ausgehen, dass praktisch jedes Vektorfeld, was uns in 434 00:43:52.080 --> 00:43:58.080 relevanten Problemen begegnen wird, genau diese Eigenschaft erfüllt. 435 00:43:58.080 --> 00:44:07.040 Also, ein Vektorfeld, das ausreichend stark abfällt für r gegen unendlich, lässt sich 436 00:44:07.040 --> 00:44:18.040 zerlegen in einen rotationsfreien Anteil a und in einen divergenzfreien Anteil b. 437 00:44:18.040 --> 00:44:28.040 Das heißt, wir können F(r) schreiben als a(r) plus b(r), wobei eben die Rotation von 438 00:44:28.040 --> 00:44:34.040 a verschwindet und die Divergenz von b verschwindet. 439 00:44:38.040 --> 00:44:50.040 Des Weiteren nehmen wir zur Kenntnis, dass Gradientenfelder rotationsfrei sind. 440 00:44:50.040 --> 00:44:58.040 Das heißt, es gilt immer Rotation Gradient phi gleich 0 für ein beliebiges skalares Feld phi. 441 00:44:58.040 --> 00:45:05.000 Und wir nehmen zur Kenntnis, dass Rotationsfelder divergenzfrei sind. 442 00:45:05.000 --> 00:45:11.000 Das heißt, es gilt das die Divergenz von Rotation A für ein beliebiges Vektorfeld A 443 00:45:11.000 --> 00:45:13.000 ebenfalls gleich 0 ist. 444 00:45:13.000 --> 00:45:22.000 Das ist letztendlich die Konstruktionsanleitung dafür, wie wir denn jetzt Felder a und b 445 00:45:22.000 --> 00:45:29.000 finden können, so dass eben Rotation von a verschwindet und Divergenz b verschwindet. 446 00:45:29.000 --> 00:45:35.000 Ja, das wird man jetzt so machen, dass a eben gerade ein 447 00:45:35.000 --> 00:45:41.000 Gradientenfeld ist und b eben grade ein Rotationsfeld ist. 448 00:45:41.000 --> 00:45:44.000 Das können wir uns hinschreiben. 449 00:45:44.000 --> 00:45:51.000 Hiermit folgt also die Darstellung mit einem skalaren Potential phi und einem 450 00:45:51.000 --> 00:46:00.060 Vektorpotential A, dass F(r) - ein beliebiges Vektorfeld, das nur ausreichend 451 00:46:00.060 --> 00:46:07.060 stark gegen unendlich abfällt - geschrieben werden kann als - Gradient phi + Rotation 452 00:46:07.060 --> 00:46:13.060 A also - Gradient eines Skalarpotentials + Rotation eines Vektorpotentials. 453 00:46:13.060 --> 00:46:19.060 Und hierbei wundern Sie sich im Moment vielleicht über das Minus das hier auftaucht. 454 00:46:19.060 --> 00:46:24.060 Das ist eine reine Konvention - wirklich nicht von Bedeutung. 455 00:46:24.060 --> 00:46:30.060 Wir schreiben es nur so hin, damit es später nicht zu Verwirrungen kommt. 456 00:46:30.060 --> 00:46:37.060 Sie könnten das Minuszeichen ja genauso in das Potential reinziehen – dann würde alles 457 00:46:37.060 --> 00:46:40.060 andere genau so gelten - es ist eine reine Konversion. 458 00:46:40.060 --> 00:46:53.060 Das Ganze wäre jetzt noch nicht so schön, wenn wir nicht auch tatsächlich dieses 459 00:46:53.060 --> 00:46:58.060 Skalarpotential und das Vektorpotential angeben könnten. 460 00:46:58.060 --> 00:47:00.020 Genau das ist aber der Fall. 461 00:47:00.020 --> 00:47:08.020 Das heißt, man kann tatsächlich eben jetzt sowohl das Skalar - hier ist ein 462 00:47:08.020 --> 00:47:13.020 Schreibfehler - das korrigiere ich dann irgendwann mal - Skalar natürlich mit einem 463 00:47:13.020 --> 00:47:20.020 k noch darin - dieses Skalarpotential und das Vektor-Potential können jetzt 464 00:47:20.020 --> 00:47:27.020 tatsächlich aus dem Feld F direkt ausgerechnet werden in der Art und Weise 465 00:47:27.020 --> 00:47:33.020 wie das hier steht: das heißt, das sind Volumenintegrale einmal über die Divergenz 466 00:47:33.020 --> 00:47:36.020 und einmal über die Rotation des Feldes. 467 00:47:36.020 --> 00:47:42.020 Ich habe hier, um es wirklich deutlich zu machen, auch noch mal Striche drangesetzt: 468 00:47:42.020 --> 00:47:47.020 diese Differenzialoperatoren beziehen sich jetzt eben auf die gestrichene Koordinate 469 00:47:47.020 --> 00:47:53.020 und nicht etwa auf die ungestrichene Koordinate die außen steht. 470 00:47:53.020 --> 00:47:55.020 Ansonsten könnten Sie das ja auch einfach vor das Integral ziehen. 471 00:47:55.020 --> 00:48:01.080 Es muss hier tatsächlich bezüglich der gestrichelten Koordinaten abgeleitet werden. 472 00:48:01.080 --> 00:48:13.080 Das ist der Ausdruck. So, in der Form, gilt er tatsächlich für Felder F, die ausreichend schnell – also 473 00:48:13.080 --> 00:48:20.080 schneller als 1/r - gegen 0 streben. 474 00:48:20.080 --> 00:48:27.080 Man kann das erweitern für den Fall, wenn das nicht erfüllt ist, diese Voraussetzung. 475 00:48:27.080 --> 00:48:35.080 Dann kommen hier tatsächlich zusätzliche Oberflächenterme hinzu mit jeweils zwei 476 00:48:35.080 --> 00:48:41.080 Oberflächenintegrale über die Oberfläche eines Volumens. 477 00:48:41.080 --> 00:48:48.080 Und ja hier kann man schon so ein bisschen ablesen, wo diese Bedingung herkommt. 478 00:48:48.080 --> 00:48:56.080 Wenn ich also will, das diese Therme hier wegfallen, dann muss ich eben zusehen, dass 479 00:48:56.080 --> 00:49:06.040 F(r‘) schneller gegen 0 strebt, als 1/r-r‘ gegen endlich strebt. 480 00:49:06.040 --> 00:49:16.040 Und das ist genau diese Bedingung das r mal F für r gegen unendlich verschwindet. 481 00:49:16.040 --> 00:49:23.040 Dann fällt in diesem Oberflächenintegral der Integrand ausreichend schnell ab, so 482 00:49:23.040 --> 00:49:29.040 dass selbst wenn ich das Volumen groß genug mache, die Kugeloberfläche nicht schnell 483 00:49:29.040 --> 00:49:34.040 genug anwächst, um diesen Abfall von F zu kompensieren. 484 00:49:34.040 --> 00:49:40.040 Und in dem Fall spielen die Oberflächenterme eben keine Rolle und es 485 00:49:40.040 --> 00:49:44.040 bleibt eben genau das übrig, was ich eben schon dargestellt habe. 486 00:49:44.040 --> 00:49:49.040 Das ist der Ausdruck, den wir in Zukunft verwenden werden - in aller Regel - und nur 487 00:49:49.040 --> 00:49:53.040 in ganz, ganz großen Ausnahmefällen, wenn es nicht anders geht, dann kommt eben 488 00:49:53.040 --> 00:49:57.040 dieser Term, diese Terme hinzu. 489 00:49:57.040 --> 00:50:04.000 Häufig werden Sie tatsächlich diese Komponenten auch als sogenannte 490 00:50:04.000 --> 00:50:09.000 transversale und longitudinale Komponenten bezeichnet finden. 491 00:50:09.000 --> 00:50:17.000 Also das, was sich aus den Gradientenfeld - aus dem Skalarpotential - ergibt, wird 492 00:50:17.000 --> 00:50:23.000 häufig auch als die longitudinale Komponente bezeichnet und die 493 00:50:23.000 --> 00:50:29.000 divergenzfreie Komponente Rotation A, die also aus dem Vektorpotential kommt, die 494 00:50:29.000 --> 00:50:35.000 wird auch sehr häufig die transversale Komponente des Feldes bezeichnet. 495 00:50:35.000 --> 00:50:44.000 Der Hintergrund ist an der Stelle der, dass, wenn Sie eine Fouriertransformation 496 00:50:44.000 --> 00:50:52.000 des Feldes F machen und sich das Ganze dann an einem Punkt k betrachten - dann sind 497 00:50:52.000 --> 00:50:58.000 Sie im k-Raum - und betrachten einen Punkt k, was natürlich ein Vektor ist, dann 498 00:50:58.000 --> 00:51:06.060 können sie eben das Feld im k-Raum aufspalten in einem Beitrag in Richtung von 499 00:51:06.060 --> 00:51:13.060 k und in einem Beitrag senkrecht zu k: also einmal longitudinal und einmal 500 00:51:13.060 --> 00:51:19.060 transversal. Und es stellt sich heraus, dass diese Beiträge genau diese Beiträge 501 00:51:19.060 --> 00:51:25.060 sind, die wir hier grade auch angesprochen haben. 502 00:51:25.060 --> 00:51:34.060 Das heißt, Rotation A ist eben dann genau dieser transversale Anteil und Gradient phi 503 00:51:34.060 --> 00:51:40.060 bzw. - Gradient phi ist dann eben der longitudinale Beitrag. 504 00:51:40.060 --> 00:51:52.060 Gut. Das soll hier tatsächlich auch ausreichen, für diese kurze Einführung. 505 00:51:52.060 --> 00:51:56.060 Ich danke Ihnen sehr für Ihre Aufmerksamkeit. 506 00:51:56.060 --> 00:52:04.020 Natürlich ist es so, dass wir auch später immer mal wieder das Eine oder Andere auch 507 00:52:04.020 --> 00:52:07.020 an Mathematik wiederholen werden. 508 00:52:07.020 --> 00:52:13.020 Aber über manche Sachen werden wir dann auch einfach hinweggehen und Ihre Aufgabe 509 00:52:13.020 --> 00:52:17.020 wird es dann sein, dass in Ihren Unterlagen, die Sie ja haben aus anderen 510 00:52:17.020 --> 00:52:22.020 Vorlesungen oder einem guten Buch, dann einfach noch mal nachzuschauen. 511 00:52:22.020 --> 00:52:26.020 Gut, das war es. Wie gesagt: Besten Dank! 512 00:52:26.020 --> 00:52:30.020 Auf der Webseite finden Sie gegebenenfalls weitere Informationen. 513 00:52:30.020 --> 00:52:32.020 Bis zum nächsten Mal.