Vorlesung Analysis - 1.5 Die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen

Dies ist ein sehr kurzer Abschnitt über die Mächtigkeit ("Größe") von Mengen. Wir unterscheiden erst einmal zwischen endlichen und unendlichen Mengen. Unter den unendlichen Mengen gibt es noch Abstufungen bezüglich ihrer Größe: manche sind so groß wie die natürlichen Zahlen ("abzählbar"), andere größer. Wir zeigen, daß die Menge der ganzen Zahlen und die Menge der rationalen Zahlen abzählbar sind, während die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist. Am Ende dieses Abschnitts finden Sie die Definition der algebraischen Zahlen. Die Menge der algebraischen Zahlen ist ein angeordneter Körper, der zum Beispiel schon die Wurzel aus 2 und auch alle anderen Wurzeln von rationalen Zahlen enthält, aber immer noch abzählbar ist. Der "größte Teil" der Menge der reellen Zahlen besteht also aus transzendenten (nicht algebraischen) Zahlen; tatsächlich ist es aber garnicht so einfach zu zeigen, daß eine konkrete Zahl (zum Beispiel die Kreiszahl Pi oder die Eulersche Zahl e) transzendent ist.