Vorlesung Analysis - 2.2.2 Der Satz von Bolzano-Weierstraß und die Cauchy-Vollständigkeit der reellen Zahlen

Mit dem Vollständigkeitsaxiom (A13) zeigt man leicht, daß jede monotone, beschränkte Folge konvergiert, und man kann außerdem zeigen, daß jede Folge eine monotone Teilfolge besitzt. Aus beiden Tatsachen folgt der Satz von Bolzano-Weierstraß, der besagt, daß jede beschränkte Folge in den reellen Zahlen eine konvergente Teilfolge (bzw. einen Häufungswert) besitzt. Aus dem Satz von Bolzano-Weierstraß folgt, daß jede Cauchyfolge in den reellen Zahlen schon konvergiert; wir hatten schon bewiesen, daß jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist, und somit sind beide Begriffe in den reellen Zahlen äquivalent. Wir sagen auch, daß die Menge der reellen Zahlen Cauchy-vollständig ist.