Vorlesung Analysis - 7.5.1 Der Banachsche Fixpunktsatz

Fixpunktsätze spielen in der Mathematik immer wieder eine tragende Rolle. Ist T:Mto M eine Funktion von einer Menge M in sich selbst, dann heißt ein Element x von M Fixpunkt von T, wenn T(x)=x. Immer wieder können Existenzsätze (Es gibt ein Element, so daß ...) in ein Fixpunktproblem (Eine geeignete Abbildung besitzt einen Fixpunkt) umformuliert werden. Hier diskutieren wir den vielleicht prominentesten aller Fixpunktsätze, nämlich den Banachschen Fixpunktsatz, der nicht nur eine vielseitig einsetzbare Bedingung für die Existenz und Eindeutigkeit eines Fixpunktes angibt, sondern dessen konstruktiver Beweis auch zeigt, wie man diesen Fixpunkt gut approximieren kann. In diesem Abschnitt werden wir den Banachschen Fixpunktsatz anwenden, um die Existenz und Eindeutigkeit einer impliziten Funktion zu beweisen (siehe das Theorem über die implizite Funktion). In späteren Semestern ist der Banachsche Fixpunktsatz die Grundlage für den Beweis der Existenz und Eindeutigkeit von lokalen Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen, oder für das Newtonverfahren zur Bestimmung von Nullstellen von Funktionen; und das sind insgesamt nur drei Anwendungen des Banachschen Fixpunktsatzes. Übrigens: auf dem Aufgabenblatt 10 (Aufgabe 9) vom vergangenen Wintersemester haben Sie schon einen einfachen Spezialfall eines anderen bekannten Fixpunktsatzes (Brouwerscher Fixpunktsatz) gesehen.