Vorlesung Analysis - 7.5.4 Das Theorem über die lokale Umkehrfunktion

Aus dem Theorem über die implizite Funktion erhalten wir in einfacher Weise das Theorem über die lokale Umkehrfunktion, welches uns nicht allzusehr überraschen oder wenigstens in unserer Intuition bestätigen sollte. Stetig differenzierbare Funktionen können aufgrund der Weierstraßschen Zerlegungsformel an jedem Punkt des Definitionsbereichs gut durch lineare Abbildungen angenähert werden, und vielleicht übertragen sich ja Eigenschaften der linearen Abbildung / Ableitung auf die Funktion selbst. Das Theorem über die lokale Umkehrfunktion ist genau von diesem Typ. Ist die Ableitung einer stetig differenzierbaren Funktion zwischen Banachräumen an einem Punkt des Definitionsbereichs eine stetig invertierbare, lineare Abbildung (in endlichdimensionalen Räumen: ist die Jacobimatrix invertierbar), dann ist die Funktion selbst an diesem Punkt lokal invertierbar und die Inverse ist wiederum stetig differenzierbar.

Das Theorem über die lokale Umkehrfunktion ist übrigens äquivalent zum Theorem über die implizite Funktion II: in manchen Büchern wird zuerst das Theorem über die lokale Umkehrfunktion bewiesen, und dann das Theorem über die implizite Funktion II daraus gefolgert. Alle Beweise benutzen aber explizit oder in versteckter Weise den Banachschen Fixpunktsatz.