Vorlesung Analysis - 1.4.1 Die natürlichen Zahlen

Wir definieren die natürlichen Zahlen als kleinste induktive Teilmenge der reellen Zahlen und folgern ein paar Eigenschaften, etwa daß Summen und Produkte von natürlichen Zahlen wieder natürliche Zahlen sind (das muß hier bewiesen werden!), und den Wohlordnungssatz. Eine wichtige Folgerung aus dem Vollständigkeitsaxiom ist das archimedische Prinzip.

Es ist zu bemerken, daß hier die kleinste natürliche Zahl die 1 ist, während anderswo oft die natürlichen Zahlen mit 0 beginnen. Das ist eine Konvention, und für beide Konventionen gibt es gute Gründe. Es ist außerdem zu bemerken, daß man im Allgemeinen die natürlichen Zahlen nicht als Teilmenge der reellen Zahlen definiert, sondern daß man die Existenz der Menge der natürlichen Zahlen entweder postuliert oder aus dem grundlegenderen Zermelo-Fraenkelschen Axiomensystem der Mengenlehre herleitet. Aus den natürlichen Zahlen werden dann die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und schließlich die reellen Zahlen konstruiert.