Vorlesung Analysis - 2.3.5 Unendliche Reihen: Unbedingte Konvergenz und der Riemannsche Umordnungssatz

Gilt bei unendlichen Reihen ein Kommutativgesetz? Darf ich in unendlichen Reihen die Reihenfolge der Summanden beliebig vertauschen? Was heißt das überhaupt: die Reihenfolge der Summanden vertauschen? Wir nennen eine Reihe unbedingt konvergent, wenn man die Reihenfolge der Summanden beliebig vertauschen darf. In den reellen Zahlen gilt, daß unbedingte Konvergenz einer Reihe äquivalent zur absoluten Konvergenz ist. Das heißt also, daß man bei konvergenten, aber nicht absolut konvergenten Reihen die Reihenfolge der Summanden nicht beliebig vertauschen darf. Der Riemannsche Umordnungssatz (hier ohne Beweis) geht sogar noch etwas weiter: wenn eine Reihe bedingt konvergiert (sie ist konvergent, aber nicht absolut konvergent), dann findet man für jede reelle Zahl c eine Umordnung der Summanden, so daß die Umordnung summierbar mit Grenzwert c ist. Sie sollen hier das Gefühl bekommen, daß man mit unendlichen Reihen manchmal vorsichtig sein muß, wenn man vermeintlich einfache Rechenoperationen durchführt.