Vorlesung Analysis - 2.4 Komplexe Zahlen

Wir führen hier den Körper der komplexen Zahlen ein. Dies ist ein Körper, der den Körper der reellen Zahlen enthält und in dem die Gleichung z^2=-1 eine Lösung besitzt. Wir sprechen statt vom Körper der komplexen Zahlen auch von der komplexen Ebene, weil die Menge der komplexen Zahlen gerade das kartesische Produkt der Menge der reellen Zahlen mit sich selbst ist, also eine Ebene. Anders als den Körper der reellen Zahlen veranschaulichen wir uns den Körper der komplexen Zahlen nicht als Zahlengerade, sondern als Zahlenebene. Der Körper der komplexen Zahlen tritt an vielen Stellen der Mathematik und der Physik auf, und es ist günstig, ihn schon recht früh einzuführen. Konkret werden wir mit dem Umweg über die komplexen Zahlen die Sinusfunktion und die Cosinusfunktion einführen und ein paar Eigenschaften beweisen.