Vorlesung Analysis - 3.3.3 Der Satz von Weierstraß: Existenz von globalen Extrema

Ein häufiges Problem in Anwendungen ist es, globale Minima oder Maxima von reellwertigen Funktionen zu finden: eine Gewinnfunktion soll maximiert, eine Verbrauchsfunktion minimiert werden, physikalische Prozesse laufen nach dem Prinzip der kleinsten Wirkung ab. Ein erster Satz mit hinreichenden Bedingungen für die Existenz von globalen Extrema ist das Theorem von Weierstraß. Jede stetige Funktion auf einem beschränkten und abgeschlossenen (=kompakten) Intervall besitzt ein globales Maximum und ein globales Minimum. Dieser Satz wird sehr häufig auch in anderen, abstrakteren Kontexten verwendet: manchmal reicht schon die etwas schwächere Aussage, daß jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall beschränkt ist. Im folgenden Kapitel "Differentialrechnung" brauchen wir das Theorem von Weierstraß, um den Mittelwertsatz zu beweisen.