Vorlesung Analysis - 4.3.1 Höhere Ableitungen und der Satz von Taylor

Ist die Ableitung einer differenzierbaren Funktion f wiederum differenzierbar, dann heißt f zweimal differenzierbar, und die Ableitung der Ableitung heißt zweite Ableitung. Rekursiv definiert man höhere (dritte, vierte, ...) Ableitungen. Mehrmals differenzierbare Funktionen haben neben der höheren Regularität auch bessere Approximationseigenschaften. Während eine differenzierbare Funktion gut durch eine affine Funktion (=Polynom vom Grad kleiner oder gleich 1) approximiert werden kann (Weierstraßsche Zerlegungsformel), kann eine (n+1)-mal differenzierbare Funktion gut durch eine Polynom vom Grad kleiner oder gleich n approximiert werden. Dies ist im Wesentlichen die Aussage des Satzes von Taylor. "Gut" heißt hier, daß der Fehler bei der Approximation sehr klein wird. Inhaltlich ist der Satz von Taylor den Mittelwertsätzen zuzuordnen: er folgt aus dem Mittelwertsatz und verallgemeinert den Mittelwertsatz.