Vorlesung Analysis - 4.3.2 Folgerungen aus dem Satz von Taylor

Analog zu den Folgerungen aus dem Mittelwertsatz ziehen wir hier Folgerungen aus dem Satz von Taylor. Wenn die (n+1)-te Ableitung einer Funktion verschwindet, dann ist die Funktion ein Polynom vom Grad kleiner oder gleich n. Vergleiche mit der Folgerung aus dem MWS: wenn die erste Ableitung verschwindet, dann ist die Funktion konstant. Eine zweimal differenzierbare Funktion ist genau dann konvex, wenn ihre zweite Ableitung größer oder gleich 0 ist, Vergleiche mit der Folgerung aus dem MWS: eine differenzierbare Funktion ist genau dann monoton wachsend, wenn die erste Ableitung größer oder gleich 0 ist. Mit Hilfe des Satzes von Taylor erhalten wir auch ein hinreichendes Kriterium für lokale Extrema: wenn die erste Ableitung einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt x gleich 0 und die zweite Ableitung im Punkt x echt positiv ist, dann ist x ein lokales Minimum der Funktion. Mit Hilfe der Charakterisierung von Konvexität / Konkavität einer Funktion beweisen wir auch die Youngsche und die Höldersche Ungleichung, die wir im kommenden Semester gut gebrauchen können.