Vorlesung Analysis - 6.1.1 Normierte Räume

Wir verallgemeinern den Begriff des Absolutbetrags, der auf der Menge der reellen Zahlen definiert ist, zum Begriff einer Norm auf einem reellen oder komplexen Vektorraum. Eine Norm ist eine reellwertige Funktion auf einem reellen oder komplexen Vektorraum, die drei Eigenschaften erfüllt, die wir für den Absolutbetrag kennen (siehe Satz 1.2.6 (b) und (c) und die Dreiecksungleichung aus Satz 1.2.7). Die Norm eines Vektors ist so etwas wie die "Länge" des Vektors, die Norm von der Differenz zweier Vektoren so etwas wie der "Abstand" zwischen den Vektoren. Es ist erstaunlich, wie weit das Konzept der Norm trägt. In diesem Video definieren wir normierte Räume und geben einfache Beispiele, die für diese Vorlesung ausreichend sind. Dazu zählen natürlich der Vektorraum R^N mit einer p-Norm, aber auch der Vektorraum der stetigen Funktionen mit der Supremumsnorm.