Vorlesung Analysis - 6.2.1 Folgen in metrischen Räumen

Anstelle von reellen oder komplexen Folgen betrachten wir nun Folgen in normierten oder in metrischen Räumen. Wir verallgemeinern auch die Begriffe der konvergenten Folge, der Cauchyfolge und (in normierten Räumen) der beschränkten Folge. Überall, wo bisher der Absolutbetrag einer Differenz von zwei reellen oder komplexen Zahlen stand, steht nun der Abstand zwischen zwei Elementen oder eventuell die Norm einer Differenz von zwei Elementen eines normierten Raums. Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge und (in normierten Räumen) jede Cauchyfolge ist beschränkt. Beachten Sie bitte, daß eine beschränkte Folge in einem beliebigen metrischen Raum nicht definiert ist. Wir beweisen auch, daß der Grenzwert einer konvergenten Folge eindeutig bestimmt ist. Im Wesentlichen sind die Beweise dieser Sätze Wiederholungen aus der Analysis I; wir können sie Wort für Wort übernehmen. Lediglich die Untersuchung konvergenter Folgen in R^N ist neu.