Vorlesung Analysis - 6.2.2 Folgen in metrischen Räumen II

Nicht jede Cauchyfolge in einem metrischen Raum ist konvergent; einfache Gegenbeispiele existieren im Raum der rationalen Zahlen. Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchyfolge konvergiert. Aus dem Konvergenzkriterium in R^N folgt, daß R^N ein vollständiger, metrischer Raum ist. Andere Beispiele werden noch folgen. Wir beweisen hier auch den Satz von Bolzano-Weierstraß in R^N (jede beschränkte Folge in R^N besitzt eine konvergente Teilfolge); er ist im Wesentlichen eine Folgerung aus dem entsprechenden Satz in R. Schließlich charakterisieren wir abgeschlossene Teilmengen von metrischen Räumen über Folgen. Diese Charakterisierung erklärt vielleicht den Begriff "abgeschlossen" und wird im Folgenden immer wieder verwendet werden.