Vorlesung Analysis - 6.3 Stetigkeit von Funktionen zwischen metrischen Räumen

Die epsilon-delta-Definition der Stetigkeit von Funktionen zwischen metrischen Räumen ist -- ähnlich wie die Definition der Konvergenz von Folgen -- eine natürliche Verallgemeinerung der Definition aus der Analysis I. Sie ist auch äquivalent zur Folgenstetigkeit, und der Beweis dieser Äquivalenz kann fast wortwörtlich aus der Analysis I übernommen werden. Wir beweisen hier aber auch die Äquivalenz zu einer dritten Definition von Stetigkeit: eine Funktion zwischen zwei metrischen Räumen ist genau dann stetig, wenn Urbilder von offenen Mengen (des Bildraums) offen im Startraum sind ("Urbilder offener Mengen sind offen"). Diese dritte Definition ist eigentlich die "gute" Definition von Stetigkeit. Wir geben auch Beispiele von stetigen Funktionen (lineare Funktionen, Polynome mehrerer Variablen, ...), verzichten aber auf die Formulierung offensichtlicher Rechenregeln (Summen, Produkte, Quotienten, Verknüpfungen stetiger Funktionen sind stetig) und auf eine detaillierte Diskussion von gleichmäßiger Stetigkeit und Lipschitzstetigkeit.