Vorlesung Analysis - 6.4.2 Kompakte, metrische Räume II

Dieses Video beantwortet zwei Fragen: Welche Teilmengen von R^N sind kompakt? Wozu ist Kompaktheit überhaupt gut? Die Antwort auf die erste Frage ist das Theorem von Heine-Borel: eine Teilmenge des R^N ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. Für die zweite Frage gibt es mehrere Antworten. Die wichtigste Antwort ist: "Stetige Bilder von kompakten, metrischen Räumen sind kompakt", d. h. daß das Bild einer stetigen Funktion auf einem kompakten, metrischen Raum wieder kompakt ist. Dieser Satz von Weierstraß impliziert, daß jede stetige, reellwertige Funktion auf einem kompakten, metrischen Raum globale Extrema besitzt. Eine zweite Antwort auf die zweite Frage ist: jede stetige Funktion auf einem kompakten, metrischen Raum ist gleichmäßig stetig. Und schließlich (nicht im Video formuliert): eine stetige, bijektive Funktion auf einem kompakten, metrischen Raum besitzt eine stetige Umkehrfunktion.