Vorlesung Analysis - 7.3.1 Partielle Ableitungen

Eine Funktion von mehreren Variablen, d.h. eine Funktion, die auf einer Teilmenge des R^N definiert ist, kann an einer Stelle des Definitionsbereichs nur in die Richtung eines Vektors oder nur in die Richtung der kanonischen Variablen differenziert werden. Wir erhalten dann die sogennanten Richtungsableitungen oder die partiellen Ableitungen, die gegenüber der Frechetableitung den Vorteil haben, daß sie Ableitungen von Funktionen von einer Variablen sind. Wir definieren hier die partiellen Ableitungen, wir zeigen, wie man die Frechetableitung aus den partiellen Ableitungen berechnen kann, wenn man lineare Abbildungen und Matrizen identifiziert, und wir zeigen, daß stetige Differenzierbarkeit und stetige, partielle Differenzierbarkeit äquivalent sind. Die Übungen werden zeigen, daß partielle Differenzierbarkeit alleine (ohne Stetigkeit) im Allgemeinen ein zu schwacher Begriff ist: so kann es zum Beispiel sein, daß eine Funktion partiell differenzierbar ist, ohne stetig sein zu müssen. Partielle Differenzierbarkeit und Frechet-Differenzierbarkeit sind also nicht äquivalent.