Vorlesung Analysis - 7.3.2 Höhere partielle Ableitungen und das Lemma von Schwarz

Ist eine reellwertige Funktion auf einer offenen Teilmenge des R^N partiell nach x_i differenzierbar, dann kann man auch die partielle Ableitung nach x_i auf partielle Differenzierbarkeit (nach x_j) untersuchen. Man erhält dann eine sogenannte partielle Ableitung zweiter Ordnung. Insgesamt kann es N^2 partielle Ableitungen zweiter Ordnung geben; da es auch auf die Reihenfolge der partiellen Ableitung ankommt: man kann zuerst nach x_i und dann die partielle Ableitung nach x_j partiell differenzieren, oder erst nach x_j und dann die partielle Ableitung nach x_i. Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung kann man dann wiederum auf partielle Differenzierbarkeit hin untersuchen, um dann N^3 partielle Ableitungen dritter Ordnung zu erhalten usw. Auch hier gilt leider: eine Funktion kann beliebig of partiell differenzierbar sein, ohne stetig sein zu müssen.

Ein äußerst praktischer Satz für höhere partielle Ableitungen ist das Lemma von Schwarz: wenn die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung existieren und stetig sind (!), dann ist die partielle Ableitung zuerst nach x_i und dann nach x_j gleich der partiellen Ableitung zuerst nach x_j und dann nach x_i.