Vorlesung Analysis - 7.5.2 Das Theorem über die implizite Funktion

Das Theorem über die implizite Funktion besagt, daß man gewisse Niveaumengen der Form {(x,y) in Mtimes V : F(x,y)=c } für geeignete Funktionen F lokal als Graph einer Funktion von M nach V schreiben kann. Durch die Gleichung F(x,f(x))=c ist also unter gewissen Voraussetzungen an F "implizit" eine Funktion f definiert. Wir beweisen zwei Theoreme über die implizite Funktion: im ersten Theorem in diesem Video ist M ein metrischer Raum und V eine offene Menge in einem Banachraum. Im zweiten Theorem im kommenden Video sind M=U und V beides offene Teilmengen in Banachräumen.

An diesem Punkt des Studiums ist das Theorem über die implizite Funktion noch schwierig zu motivieren, aber es gehört auf jeden Fall in eine Grundvorlesung Analysis. Wir wenden das Theorem in dieser Vorlesung noch an, um lokale Extrema unter Nebenbedingungen (Theorem von Lagrange) zu untersuchen. Im kommenden Semester brauchen wir die implizite Funktion wieder bei der Definition von Mannigfaltigkeiten (Oberflächen und andere gekrümmte Räume). Das Theorem über die implizite Funktion kann aber auch dazu dienen, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen zu zeigen.