Vorlesung Analysis - 8.2 Das Riemannintegral

Für beliebige Funktionen, die auf R^N gegeben sind, definieren wir analog zum eindimensionalen Fall das Ober- und das Unterintegral, und wir sagen, daß eine Funktion Riemannintegrierbar ist, wenn Ober- und Unterintegral gleich und endlich sind. Das so definierte Riemannintegral ist linear und monoton / positiv auf dem Raum der Riemannintegrierbaren Funktionen. Auch hier gibt es gegenüber dem eindimensionalen Fall keine Überraschungen.

Konzeptionell neu sind die Begriffe der Jordanmeßbaren Menge und der Jordannullmenge, und daß wir auch Integrale von Funktionen betrachten, die nur auf einer Teilmenge des R^N definiert sind (wir setzen die Funktionen außerhalb dieser Menge einfach durch Null fort). Jede stetige Funktion auf einer Jordanmeßbaren, kompakten Teilmenge des R^N ist Riemannintegrierbar.